Розв'яжіть 3x^2-7x+5=0

$$3 x ^ { 2 } - 7 x + 5 = 0$$

Знайдіть x (complex solution)

$$x=\frac{7+\sqrt{11}i}{6}\approx 1,166666667+0,552770798i$$

$$x=\frac{-\sqrt{11}i+7}{6}\approx 1,166666667-0,552770798i$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$3x^{2}-7x+5=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 3 замість a, -7 замість b і 5 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 3\times 5}}{2\times 3}$$

Піднесіть -7 до квадрата.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 3\times 5}}{2\times 3}$$

Помножте -4 на 3.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-12\times 5}}{2\times 3}$$

Помножте -12 на 5.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-60}}{2\times 3}$$

Додайте 49 до -60.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{-11}}{2\times 3}$$

Видобудьте квадратний корінь із -11.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{11}i}{2\times 3}$$

Число, протилежне до -7, дорівнює 7.

$$x=\frac{7±\sqrt{11}i}{2\times 3}$$

Помножте 2 на 3.

$$x=\frac{7±\sqrt{11}i}{6}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{7±\sqrt{11}i}{6} за додатного значення ±. Додайте 7 до i\sqrt{11}.

$$x=\frac{7+\sqrt{11}i}{6}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{7±\sqrt{11}i}{6} за від’ємного значення ±. Відніміть i\sqrt{11} від 7.

$$x=\frac{-\sqrt{11}i+7}{6}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{7+\sqrt{11}i}{6} x=\frac{-\sqrt{11}i+7}{6}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-7x+5=0$$

Відніміть 5 від обох сторін цього рівняння.

$$3x^{2}-7x+5-5=-5$$

Якщо відняти 5 від самого себе, залишиться 0.

$$3x^{2}-7x=-5$$

Розділіть обидві сторони на 3.

$$\frac{3x^{2}-7x}{3}=-\frac{5}{3}$$

Ділення на 3 скасовує множення на 3.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x=-\frac{5}{3}$$

Поділіть -\frac{7}{3} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{7}{6}. Потім додайте -\frac{7}{6} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\left(-\frac{7}{6}\right)^{2}=-\frac{5}{3}+\left(-\frac{7}{6}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{7}{6} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}=-\frac{5}{3}+\frac{49}{36}$$

Щоб додати -\frac{5}{3} до \frac{49}{36}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}=-\frac{11}{36}$$

Розкладіть x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{6}\right)^{2}=-\frac{11}{36}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{6}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{11}{36}}$$

Виконайте спрощення.

$$x-\frac{7}{6}=\frac{\sqrt{11}i}{6} x-\frac{7}{6}=-\frac{\sqrt{11}i}{6}$$

Додайте \frac{7}{6} до обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{7+\sqrt{11}i}{6} x=\frac{-\sqrt{11}i+7}{6}$$