Розв'яжіть 3x^2+8x-11=0

$$3 x ^ { 2 } + 8 x - 11 = 0$$

Знайдіть x

$$x = -\frac{11}{3} = -3\frac{2}{3} \approx -3,666666667$$

$$x=1$$

Покрокові інструкції з розкладання на множники методом групування

Щоб розв’язати рівняння, розкладіть його ліву частину на множники методом групування. Спочатку потрібно переписати ліву частину у вигляді 3x^{2}+ax+bx-11. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=8 ab=3\left(-11\right)=-33$$

Оскільки ab від'ємне, a і b протилежному знаки. Оскільки значення a+b додатне, додатне число за модулем більше за від’ємне. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює -33.

$$-1,33 -3,11$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$-1+33=32 -3+11=8$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює 8.

$$a=-3 b=11$$

Перепишіть 3x^{2}+8x-11 як \left(3x^{2}-3x\right)+\left(11x-11\right).

$$\left(3x^{2}-3x\right)+\left(11x-11\right)$$

3x на першій та 11 в друге групу.

$$3x\left(x-1\right)+11\left(x-1\right)$$

Винесіть за дужки спільний член x-1, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(x-1\right)\left(3x+11\right)$$

Щоб знайти рішення для формул, Розв'яжіть x-1=0 та 3x+11=0.

$$x=1 x=-\frac{11}{3}$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$3x^{2}+8x-11=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 3 замість a, 8 замість b і -11 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 3\left(-11\right)}}{2\times 3}$$

Піднесіть 8 до квадрата.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-4\times 3\left(-11\right)}}{2\times 3}$$

Помножте -4 на 3.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-12\left(-11\right)}}{2\times 3}$$

Помножте -12 на -11.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64+132}}{2\times 3}$$

Додайте 64 до 132.

$$x=\frac{-8±\sqrt{196}}{2\times 3}$$

Видобудьте квадратний корінь із 196.

$$x=\frac{-8±14}{2\times 3}$$

Помножте 2 на 3.

$$x=\frac{-8±14}{6}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-8±14}{6} за додатного значення ±. Додайте -8 до 14.

$$x=\frac{6}{6}$$

Розділіть 6 на 6.

$$x=1$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-8±14}{6} за від’ємного значення ±. Відніміть 14 від -8.

$$x=-\frac{22}{6}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 2, щоб звести дріб \frac{-22}{6} до нескоротного вигляду.

$$x=-\frac{11}{3}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=1 x=-\frac{11}{3}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+8x-11=0$$

Додайте 11 до обох сторін цього рівняння.

$$3x^{2}+8x-11-\left(-11\right)=-\left(-11\right)$$

Якщо відняти -11 від самого себе, залишиться 0.

$$3x^{2}+8x=-\left(-11\right)$$

Відніміть -11 від 0.

$$3x^{2}+8x=11$$

Розділіть обидві сторони на 3.

$$\frac{3x^{2}+8x}{3}=\frac{11}{3}$$

Ділення на 3 скасовує множення на 3.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x=\frac{11}{3}$$

Поділіть \frac{8}{3} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати \frac{4}{3}. Потім додайте \frac{4}{3} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{11}{3}+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}$$

Щоб піднести \frac{4}{3} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{11}{3}+\frac{16}{9}$$

Щоб додати \frac{11}{3} до \frac{16}{9}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{49}{9}$$

Розкладіть x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{49}{9}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x+\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{9}}$$

Виконайте спрощення.

$$x+\frac{4}{3}=\frac{7}{3} x+\frac{4}{3}=-\frac{7}{3}$$

Відніміть \frac{4}{3} від обох сторін цього рівняння.

$$x=1 x=-\frac{11}{3}$$