Розв'яжіть 3n^2+3n+1=1141

$$3 n ^ { 2 } + 3 n + 1 = 1141$$

Знайдіть n

$$n=-20$$

$$n=19$$

Покрокові інструкції з розкладання на множники методом групування

Відніміть 1141 з обох сторін.

$$3n^{2}+3n+1-1141=0$$

Відніміть 1141 від 1, щоб отримати -1140.

$$3n^{2}+3n-1140=0$$

Розділіть обидві сторони на 3.

$$n^{2}+n-380=0$$

Щоб розв’язати рівняння, розкладіть його ліву частину на множники методом групування. Спочатку потрібно переписати ліву частину у вигляді n^{2}+an+bn-380. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=1 ab=1\left(-380\right)=-380$$

Оскільки ab від'ємне, a і b протилежному знаки. Оскільки значення a+b додатне, додатне число за модулем більше за від’ємне. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює -380.

$$-1,380 -2,190 -4,95 -5,76 -10,38 -19,20$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$-1+380=379 -2+190=188 -4+95=91 -5+76=71 -10+38=28 -19+20=1$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює 1.

$$a=-19 b=20$$

Перепишіть n^{2}+n-380 як \left(n^{2}-19n\right)+\left(20n-380\right).

$$\left(n^{2}-19n\right)+\left(20n-380\right)$$

n на першій та 20 в друге групу.

$$n\left(n-19\right)+20\left(n-19\right)$$

Винесіть за дужки спільний член n-19, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(n-19\right)\left(n+20\right)$$

Щоб знайти рішення для формул, Розв'яжіть n-19=0 та n+20=0.

$$n=19 n=-20$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$3n^{2}+3n+1=1141$$

Відніміть 1141 від обох сторін цього рівняння.

$$3n^{2}+3n+1-1141=1141-1141$$

Якщо відняти 1141 від самого себе, залишиться 0.

$$3n^{2}+3n+1-1141=0$$

Відніміть 1141 від 1.

$$3n^{2}+3n-1140=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 3 замість a, 3 замість b і -1140 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 3\left(-1140\right)}}{2\times 3}$$

Піднесіть 3 до квадрата.

$$n=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 3\left(-1140\right)}}{2\times 3}$$

Помножте -4 на 3.

$$n=\frac{-3±\sqrt{9-12\left(-1140\right)}}{2\times 3}$$

Помножте -12 на -1140.

$$n=\frac{-3±\sqrt{9+13680}}{2\times 3}$$

Додайте 9 до 13680.

$$n=\frac{-3±\sqrt{13689}}{2\times 3}$$

Видобудьте квадратний корінь із 13689.

$$n=\frac{-3±117}{2\times 3}$$

Помножте 2 на 3.

$$n=\frac{-3±117}{6}$$

Тепер розв’яжіть рівняння n=\frac{-3±117}{6} за додатного значення ±. Додайте -3 до 117.

$$n=\frac{114}{6}$$

Розділіть 114 на 6.

$$n=19$$

Тепер розв’яжіть рівняння n=\frac{-3±117}{6} за від’ємного значення ±. Відніміть 117 від -3.

$$n=-\frac{120}{6}$$

Розділіть -120 на 6.

$$n=-20$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$n=19 n=-20$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$3n^{2}+3n+1=1141$$

Відніміть 1 від обох сторін цього рівняння.

$$3n^{2}+3n+1-1=1141-1$$

Якщо відняти 1 від самого себе, залишиться 0.

$$3n^{2}+3n=1141-1$$

Відніміть 1 від 1141.

$$3n^{2}+3n=1140$$

Розділіть обидві сторони на 3.

$$\frac{3n^{2}+3n}{3}=\frac{1140}{3}$$

Ділення на 3 скасовує множення на 3.

$$n^{2}+\frac{3}{3}n=\frac{1140}{3}$$

Розділіть 3 на 3.

$$n^{2}+n=\frac{1140}{3}$$

Розділіть 1140 на 3.

$$n^{2}+n=380$$

Поділіть 1 (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати \frac{1}{2}. Потім додайте \frac{1}{2} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$n^{2}+n+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=380+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Щоб піднести \frac{1}{2} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$n^{2}+n+\frac{1}{4}=380+\frac{1}{4}$$

Додайте 380 до \frac{1}{4}.

$$n^{2}+n+\frac{1}{4}=\frac{1521}{4}$$

Розкладіть n^{2}+n+\frac{1}{4} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1521}{4}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(n+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1521}{4}}$$

Виконайте спрощення.

$$n+\frac{1}{2}=\frac{39}{2} n+\frac{1}{2}=-\frac{39}{2}$$

Відніміть \frac{1}{2} від обох сторін цього рівняння.

$$n=19 n=-20$$