Розв'яжіть 3x^2+5x-1=0

$$3 { x }^{ 2 } +5x-1=0$$

Знайдіть x

$$x=\frac{\sqrt{37}-5}{6}\approx 0,180460422$$

$$x=\frac{-\sqrt{37}-5}{6}\approx -1,847127088$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$3x^{2}+5x-1=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 3 замість a, 5 замість b і -1 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

Піднесіть 5 до квадрата.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

Помножте -4 на 3.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-12\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

Помножте -12 на -1.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+12}}{2\times 3}$$

Додайте 25 до 12.

$$x=\frac{-5±\sqrt{37}}{2\times 3}$$

Помножте 2 на 3.

$$x=\frac{-5±\sqrt{37}}{6}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-5±\sqrt{37}}{6} за додатного значення ±. Додайте -5 до \sqrt{37}.

$$x=\frac{\sqrt{37}-5}{6}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-5±\sqrt{37}}{6} за від’ємного значення ±. Відніміть \sqrt{37} від -5.

$$x=\frac{-\sqrt{37}-5}{6}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{\sqrt{37}-5}{6} x=\frac{-\sqrt{37}-5}{6}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+5x-1=0$$

Додайте 1 до обох сторін цього рівняння.

$$3x^{2}+5x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Якщо відняти -1 від самого себе, залишиться 0.

$$3x^{2}+5x=-\left(-1\right)$$

Відніміть -1 від 0.

$$3x^{2}+5x=1$$

Розділіть обидві сторони на 3.

$$\frac{3x^{2}+5x}{3}=\frac{1}{3}$$

Ділення на 3 скасовує множення на 3.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x=\frac{1}{3}$$

Поділіть \frac{5}{3} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати \frac{5}{6}. Потім додайте \frac{5}{6} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{1}{3}+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}$$

Щоб піднести \frac{5}{6} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{1}{3}+\frac{25}{36}$$

Щоб додати \frac{1}{3} до \frac{25}{36}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{37}{36}$$

Розкладіть x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{37}{36}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{37}{36}}$$

Виконайте спрощення.

$$x+\frac{5}{6}=\frac{\sqrt{37}}{6} x+\frac{5}{6}=-\frac{\sqrt{37}}{6}$$

Відніміть \frac{5}{6} від обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{\sqrt{37}-5}{6} x=\frac{-\sqrt{37}-5}{6}$$