Розв'яжіть 3+12x-4x^2=0

$$3 + 12 x - 4 x ^ { 2 } = 0$$

Знайдіть x

$$x=\sqrt{3}+\frac{3}{2}\approx 3,232050808$$

$$x=\frac{3}{2}-\sqrt{3}\approx -0,232050808$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$-4x^{2}+12x+3=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте -4 замість a, 12 замість b і 3 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-12±\sqrt{12^{2}-4\left(-4\right)\times 3}}{2\left(-4\right)}$$

Піднесіть 12 до квадрата.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-4\left(-4\right)\times 3}}{2\left(-4\right)}$$

Помножте -4 на -4.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144+16\times 3}}{2\left(-4\right)}$$

Помножте 16 на 3.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144+48}}{2\left(-4\right)}$$

Додайте 144 до 48.

$$x=\frac{-12±\sqrt{192}}{2\left(-4\right)}$$

Видобудьте квадратний корінь із 192.

$$x=\frac{-12±8\sqrt{3}}{2\left(-4\right)}$$

Помножте 2 на -4.

$$x=\frac{-12±8\sqrt{3}}{-8}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-12±8\sqrt{3}}{-8} за додатного значення ±. Додайте -12 до 8\sqrt{3}.

$$x=\frac{8\sqrt{3}-12}{-8}$$

Розділіть -12+8\sqrt{3} на -8.

$$x=\frac{3}{2}-\sqrt{3}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-12±8\sqrt{3}}{-8} за від’ємного значення ±. Відніміть 8\sqrt{3} від -12.

$$x=\frac{-8\sqrt{3}-12}{-8}$$

Розділіть -12-8\sqrt{3} на -8.

$$x=\sqrt{3}+\frac{3}{2}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{3}{2}-\sqrt{3} x=\sqrt{3}+\frac{3}{2}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$-4x^{2}+12x+3=0$$

Відніміть 3 від обох сторін цього рівняння.

$$-4x^{2}+12x+3-3=-3$$

Якщо відняти 3 від самого себе, залишиться 0.

$$-4x^{2}+12x=-3$$

Розділіть обидві сторони на -4.

$$\frac{-4x^{2}+12x}{-4}=-\frac{3}{-4}$$

Ділення на -4 скасовує множення на -4.

$$x^{2}+\frac{12}{-4}x=-\frac{3}{-4}$$

Розділіть 12 на -4.

$$x^{2}-3x=-\frac{3}{-4}$$

Розділіть -3 на -4.

$$x^{2}-3x=\frac{3}{4}$$

Поділіть -3 (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{3}{2}. Потім додайте -\frac{3}{2} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{3}{4}+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{3}{2} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{3+9}{4}$$

Щоб додати \frac{3}{4} до \frac{9}{4}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=3$$

Розкладіть x^{2}-3x+\frac{9}{4} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=3$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{3}$$

Виконайте спрощення.

$$x-\frac{3}{2}=\sqrt{3} x-\frac{3}{2}=-\sqrt{3}$$

Додайте \frac{3}{2} до обох сторін цього рівняння.

$$x=\sqrt{3}+\frac{3}{2} x=\frac{3}{2}-\sqrt{3}$$