Розв'яжіть 25x^2+30x+9=0

$$25 { x }^{ 2 } +30x+9=0$$

Знайдіть x

$$x=-\frac{3}{5}=-0,6$$

Покрокові інструкції з розкладання на множники методом групування

Щоб розв’язати рівняння, розкладіть його ліву частину на множники методом групування. Спочатку потрібно переписати ліву частину у вигляді 25x^{2}+ax+bx+9. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=30 ab=25\times 9=225$$

Оскільки ab додатне, a та b мають однаковий знак. Оскільки a+b додатне, a і b – це не додатне. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює 225.

$$1,225 3,75 5,45 9,25 15,15$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$1+225=226 3+75=78 5+45=50 9+25=34 15+15=30$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює 30.

$$a=15 b=15$$

Перепишіть 25x^{2}+30x+9 як \left(25x^{2}+15x\right)+\left(15x+9\right).

$$\left(25x^{2}+15x\right)+\left(15x+9\right)$$

5x на першій та 3 в друге групу.

$$5x\left(5x+3\right)+3\left(5x+3\right)$$

Винесіть за дужки спільний член 5x+3, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(5x+3\right)\left(5x+3\right)$$

Перепишіть у вигляді квадрата двочлена.

$$\left(5x+3\right)^{2}$$

Щоб знайти розв’язок рівняння, обчисліть 5x+3=0.

$$x=-\frac{3}{5}$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$25x^{2}+30x+9=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 25 замість a, 30 замість b і 9 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-30±\sqrt{30^{2}-4\times 25\times 9}}{2\times 25}$$

Піднесіть 30 до квадрата.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-4\times 25\times 9}}{2\times 25}$$

Помножте -4 на 25.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-100\times 9}}{2\times 25}$$

Помножте -100 на 9.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-900}}{2\times 25}$$

Додайте 900 до -900.

$$x=\frac{-30±\sqrt{0}}{2\times 25}$$

Видобудьте квадратний корінь із 0.

$$x=-\frac{30}{2\times 25}$$

Помножте 2 на 25.

$$x=-\frac{30}{50}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 10, щоб звести дріб \frac{-30}{50} до нескоротного вигляду.

$$x=-\frac{3}{5}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$25x^{2}+30x+9=0$$

Відніміть 9 від обох сторін цього рівняння.

$$25x^{2}+30x+9-9=-9$$

Якщо відняти 9 від самого себе, залишиться 0.

$$25x^{2}+30x=-9$$

Розділіть обидві сторони на 25.

$$\frac{25x^{2}+30x}{25}=-\frac{9}{25}$$

Ділення на 25 скасовує множення на 25.

$$x^{2}+\frac{30}{25}x=-\frac{9}{25}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 5, щоб звести дріб \frac{30}{25} до нескоротного вигляду.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x=-\frac{9}{25}$$

Поділіть \frac{6}{5} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати \frac{3}{5}. Потім додайте \frac{3}{5} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\left(\frac{3}{5}\right)^{2}=-\frac{9}{25}+\left(\frac{3}{5}\right)^{2}$$

Щоб піднести \frac{3}{5} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}=\frac{-9+9}{25}$$

Щоб додати -\frac{9}{25} до \frac{9}{25}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}=0$$

Розкладіть x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{5}\right)^{2}=0$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{5}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Виконайте спрощення.

$$x+\frac{3}{5}=0 x+\frac{3}{5}=0$$

Відніміть \frac{3}{5} від обох сторін цього рівняння.

$$x=-\frac{3}{5} x=-\frac{3}{5}$$

Тепер рівняння розв’язано. Розв’язки збігаються.

$$x=-\frac{3}{5}$$