Розв'яжіть 23x^2+5x+3=0

$$23 x ^ { 2 } + 5 x + 3 = 0$$

Знайдіть x (complex solution)

$$x=\frac{-5+\sqrt{251}i}{46}\approx -0,108695652+0,344412598i$$

$$x=\frac{-\sqrt{251}i-5}{46}\approx -0,108695652-0,344412598i$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$23x^{2}+5x+3=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 23 замість a, 5 замість b і 3 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 23\times 3}}{2\times 23}$$

Піднесіть 5 до квадрата.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 23\times 3}}{2\times 23}$$

Помножте -4 на 23.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-92\times 3}}{2\times 23}$$

Помножте -92 на 3.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-276}}{2\times 23}$$

Додайте 25 до -276.

$$x=\frac{-5±\sqrt{-251}}{2\times 23}$$

Видобудьте квадратний корінь із -251.

$$x=\frac{-5±\sqrt{251}i}{2\times 23}$$

Помножте 2 на 23.

$$x=\frac{-5±\sqrt{251}i}{46}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-5±\sqrt{251}i}{46} за додатного значення ±. Додайте -5 до i\sqrt{251}.

$$x=\frac{-5+\sqrt{251}i}{46}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-5±\sqrt{251}i}{46} за від’ємного значення ±. Відніміть i\sqrt{251} від -5.

$$x=\frac{-\sqrt{251}i-5}{46}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{-5+\sqrt{251}i}{46} x=\frac{-\sqrt{251}i-5}{46}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$23x^{2}+5x+3=0$$

Відніміть 3 від обох сторін цього рівняння.

$$23x^{2}+5x+3-3=-3$$

Якщо відняти 3 від самого себе, залишиться 0.

$$23x^{2}+5x=-3$$

Розділіть обидві сторони на 23.

$$\frac{23x^{2}+5x}{23}=-\frac{3}{23}$$

Ділення на 23 скасовує множення на 23.

$$x^{2}+\frac{5}{23}x=-\frac{3}{23}$$

Поділіть \frac{5}{23} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати \frac{5}{46}. Потім додайте \frac{5}{46} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}+\frac{5}{23}x+\left(\frac{5}{46}\right)^{2}=-\frac{3}{23}+\left(\frac{5}{46}\right)^{2}$$

Щоб піднести \frac{5}{46} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}+\frac{5}{23}x+\frac{25}{2116}=-\frac{3}{23}+\frac{25}{2116}$$

Щоб додати -\frac{3}{23} до \frac{25}{2116}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}+\frac{5}{23}x+\frac{25}{2116}=-\frac{251}{2116}$$

Розкладіть x^{2}+\frac{5}{23}x+\frac{25}{2116} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{46}\right)^{2}=-\frac{251}{2116}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{46}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{251}{2116}}$$

Виконайте спрощення.

$$x+\frac{5}{46}=\frac{\sqrt{251}i}{46} x+\frac{5}{46}=-\frac{\sqrt{251}i}{46}$$

Відніміть \frac{5}{46} від обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{-5+\sqrt{251}i}{46} x=\frac{-\sqrt{251}i-5}{46}$$