Розв'яжіть 20y^2+y-1

$$20 y ^ { 2 } + y - 1$$

Розкласти на множники

$$\left(5y-1\right)\left(4y+1\right)$$

Покрокове розв’язання

Розкладіть вираз на множники методом групування. Спочатку вираз потрібно переписати у вигляді 20y^{2}+ay+by-1. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=1 ab=20\left(-1\right)=-20$$

Оскільки ab від'ємне, a і b протилежному знаки. Оскільки значення a+b додатне, додатне число за модулем більше за від’ємне. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює -20.

$$-1,20 -2,10 -4,5$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$-1+20=19 -2+10=8 -4+5=1$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює 1.

$$a=-4 b=5$$

Перепишіть 20y^{2}+y-1 як \left(20y^{2}-4y\right)+\left(5y-1\right).

$$\left(20y^{2}-4y\right)+\left(5y-1\right)$$

Винесіть за дужки 4y в 20y^{2}-4y.

$$4y\left(5y-1\right)+5y-1$$

Винесіть за дужки спільний член 5y-1, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(5y-1\right)\left(4y+1\right)$$

Покрокове використання формули для коренів квадратного рівняння

Квадратний многочлен можна розкласти на співмножники за допомогою перетворення ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), де x_{1} і x_{2} – розв’язки квадратного рівняння ax^{2}+bx+c=0.

$$20y^{2}+y-1=0$$

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$y=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 20\left(-1\right)}}{2\times 20}$$

Піднесіть 1 до квадрата.

$$y=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 20\left(-1\right)}}{2\times 20}$$

Помножте -4 на 20.

$$y=\frac{-1±\sqrt{1-80\left(-1\right)}}{2\times 20}$$

Помножте -80 на -1.

$$y=\frac{-1±\sqrt{1+80}}{2\times 20}$$

Додайте 1 до 80.

$$y=\frac{-1±\sqrt{81}}{2\times 20}$$

Видобудьте квадратний корінь із 81.

$$y=\frac{-1±9}{2\times 20}$$

Помножте 2 на 20.

$$y=\frac{-1±9}{40}$$

Тепер розв’яжіть рівняння y=\frac{-1±9}{40} за додатного значення ±. Додайте -1 до 9.

$$y=\frac{8}{40}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 8, щоб звести дріб \frac{8}{40} до нескоротного вигляду.

$$y=\frac{1}{5}$$

Тепер розв’яжіть рівняння y=\frac{-1±9}{40} за від’ємного значення ±. Відніміть 9 від -1.

$$y=-\frac{10}{40}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 10, щоб звести дріб \frac{-10}{40} до нескоротного вигляду.

$$y=-\frac{1}{4}$$

Розкладіть вихідний вираз на множники за принципом ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Замініть \frac{1}{5} на x_{1} та -\frac{1}{4} на x_{2}.

$$20y^{2}+y-1=20\left(y-\frac{1}{5}\right)\left(y-\left(-\frac{1}{4}\right)\right)$$

Спростіть усі вирази виду p-\left(-q\right) до виразів виду p+q.

$$20y^{2}+y-1=20\left(y-\frac{1}{5}\right)\left(y+\frac{1}{4}\right)$$

Щоб відняти y від \frac{1}{5}, визначте спільний знаменник і обчисліть різницю чисельників. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$20y^{2}+y-1=20\times \frac{5y-1}{5}\left(y+\frac{1}{4}\right)$$

Щоб додати \frac{1}{4} до y, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$20y^{2}+y-1=20\times \frac{5y-1}{5}\times \frac{4y+1}{4}$$

Щоб помножити \frac{5y-1}{5} на \frac{4y+1}{4}, помножте чисельник на чисельник і знаменник на знаменник. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$20y^{2}+y-1=20\times \frac{\left(5y-1\right)\left(4y+1\right)}{5\times 4}$$

Помножте 5 на 4.

$$20y^{2}+y-1=20\times \frac{\left(5y-1\right)\left(4y+1\right)}{20}$$

Відкиньте 20, тобто найбільший спільний дільник для 20 й 20.

$$20y^{2}+y-1=\left(5y-1\right)\left(4y+1\right)$$

Обчислити

$$20y^{2}+y-1$$