Розв'яжіть 2y^2+y-5=0

$$2 y ^ { 2 } + y - 5 = 0$$

Знайдіть y

$$y = \frac{\sqrt{41} - 1}{4} \approx 1,350781059$$

$$y=\frac{-\sqrt{41}-1}{4}\approx -1,850781059$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$2y^{2}+y-5=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 2 замість a, 1 замість b і -5 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 2\left(-5\right)}}{2\times 2}$$

Піднесіть 1 до квадрата.

$$y=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 2\left(-5\right)}}{2\times 2}$$

Помножте -4 на 2.

$$y=\frac{-1±\sqrt{1-8\left(-5\right)}}{2\times 2}$$

Помножте -8 на -5.

$$y=\frac{-1±\sqrt{1+40}}{2\times 2}$$

Додайте 1 до 40.

$$y=\frac{-1±\sqrt{41}}{2\times 2}$$

Помножте 2 на 2.

$$y=\frac{-1±\sqrt{41}}{4}$$

Тепер розв’яжіть рівняння y=\frac{-1±\sqrt{41}}{4} за додатного значення ±. Додайте -1 до \sqrt{41}.

$$y=\frac{\sqrt{41}-1}{4}$$

Тепер розв’яжіть рівняння y=\frac{-1±\sqrt{41}}{4} за від’ємного значення ±. Відніміть \sqrt{41} від -1.

$$y=\frac{-\sqrt{41}-1}{4}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$y=\frac{\sqrt{41}-1}{4} y=\frac{-\sqrt{41}-1}{4}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$2y^{2}+y-5=0$$

Додайте 5 до обох сторін цього рівняння.

$$2y^{2}+y-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)$$

Якщо відняти -5 від самого себе, залишиться 0.

$$2y^{2}+y=-\left(-5\right)$$

Відніміть -5 від 0.

$$2y^{2}+y=5$$

Розділіть обидві сторони на 2.

$$\frac{2y^{2}+y}{2}=\frac{5}{2}$$

Ділення на 2 скасовує множення на 2.

$$y^{2}+\frac{1}{2}y=\frac{5}{2}$$

Поділіть \frac{1}{2} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати \frac{1}{4}. Потім додайте \frac{1}{4} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$y^{2}+\frac{1}{2}y+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{5}{2}+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Щоб піднести \frac{1}{4} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$y^{2}+\frac{1}{2}y+\frac{1}{16}=\frac{5}{2}+\frac{1}{16}$$

Щоб додати \frac{5}{2} до \frac{1}{16}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$y^{2}+\frac{1}{2}y+\frac{1}{16}=\frac{41}{16}$$

Розкладіть y^{2}+\frac{1}{2}y+\frac{1}{16} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y+\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{41}{16}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(y+\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{41}{16}}$$

Виконайте спрощення.

$$y+\frac{1}{4}=\frac{\sqrt{41}}{4} y+\frac{1}{4}=-\frac{\sqrt{41}}{4}$$

Відніміть \frac{1}{4} від обох сторін цього рівняння.

$$y=\frac{\sqrt{41}-1}{4} y=\frac{-\sqrt{41}-1}{4}$$