Розв'яжіть 2x^2-34x=-22

$$2 x ^ { 2 } - 34 x = - 22$$

Знайдіть x

$$x = \frac{7 \sqrt{5} + 17}{2} \approx 16,326237921$$

$$x=\frac{17-7\sqrt{5}}{2}\approx 0,673762079$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$2x^{2}-34x=-22$$

Додайте 22 до обох сторін цього рівняння.

$$2x^{2}-34x-\left(-22\right)=-22-\left(-22\right)$$

Якщо відняти -22 від самого себе, залишиться 0.

$$2x^{2}-34x-\left(-22\right)=0$$

Відніміть -22 від 0.

$$2x^{2}-34x+22=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 2 замість a, -34 замість b і 22 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-34\right)±\sqrt{\left(-34\right)^{2}-4\times 2\times 22}}{2\times 2}$$

Піднесіть -34 до квадрата.

$$x=\frac{-\left(-34\right)±\sqrt{1156-4\times 2\times 22}}{2\times 2}$$

Помножте -4 на 2.

$$x=\frac{-\left(-34\right)±\sqrt{1156-8\times 22}}{2\times 2}$$

Помножте -8 на 22.

$$x=\frac{-\left(-34\right)±\sqrt{1156-176}}{2\times 2}$$

Додайте 1156 до -176.

$$x=\frac{-\left(-34\right)±\sqrt{980}}{2\times 2}$$

Видобудьте квадратний корінь із 980.

$$x=\frac{-\left(-34\right)±14\sqrt{5}}{2\times 2}$$

Число, протилежне до -34, дорівнює 34.

$$x=\frac{34±14\sqrt{5}}{2\times 2}$$

Помножте 2 на 2.

$$x=\frac{34±14\sqrt{5}}{4}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{34±14\sqrt{5}}{4} за додатного значення ±. Додайте 34 до 14\sqrt{5}.

$$x=\frac{14\sqrt{5}+34}{4}$$

Розділіть 34+14\sqrt{5} на 4.

$$x=\frac{7\sqrt{5}+17}{2}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{34±14\sqrt{5}}{4} за від’ємного значення ±. Відніміть 14\sqrt{5} від 34.

$$x=\frac{34-14\sqrt{5}}{4}$$

Розділіть 34-14\sqrt{5} на 4.

$$x=\frac{17-7\sqrt{5}}{2}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{7\sqrt{5}+17}{2} x=\frac{17-7\sqrt{5}}{2}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-34x=-22$$

Розділіть обидві сторони на 2.

$$\frac{2x^{2}-34x}{2}=-\frac{22}{2}$$

Ділення на 2 скасовує множення на 2.

$$x^{2}+\left(-\frac{34}{2}\right)x=-\frac{22}{2}$$

Розділіть -34 на 2.

$$x^{2}-17x=-\frac{22}{2}$$

Розділіть -22 на 2.

$$x^{2}-17x=-11$$

Поділіть -17 (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{17}{2}. Потім додайте -\frac{17}{2} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-17x+\left(-\frac{17}{2}\right)^{2}=-11+\left(-\frac{17}{2}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{17}{2} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}-17x+\frac{289}{4}=-11+\frac{289}{4}$$

Додайте -11 до \frac{289}{4}.

$$x^{2}-17x+\frac{289}{4}=\frac{245}{4}$$

Розкладіть x^{2}-17x+\frac{289}{4} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{17}{2}\right)^{2}=\frac{245}{4}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-\frac{17}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{245}{4}}$$

Виконайте спрощення.

$$x-\frac{17}{2}=\frac{7\sqrt{5}}{2} x-\frac{17}{2}=-\frac{7\sqrt{5}}{2}$$

Додайте \frac{17}{2} до обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{7\sqrt{5}+17}{2} x=\frac{17-7\sqrt{5}}{2}$$