Розв'яжіть 2x^2-3x-1=-5

$$2 x ^ { 2 } - 3 x - 1 = - 5$$

Знайдіть x (complex solution)

$$x=\frac{3+\sqrt{23}i}{4}\approx 0,75+1,198957881i$$

$$x=\frac{-\sqrt{23}i+3}{4}\approx 0,75-1,198957881i$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$2x^{2}-3x-1=-5$$

Додайте 5 до обох сторін цього рівняння.

$$2x^{2}-3x-1-\left(-5\right)=-5-\left(-5\right)$$

Якщо відняти -5 від самого себе, залишиться 0.

$$2x^{2}-3x-1-\left(-5\right)=0$$

Відніміть -5 від -1.

$$2x^{2}-3x+4=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 2 замість a, -3 замість b і 4 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 2\times 4}}{2\times 2}$$

Піднесіть -3 до квадрата.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 2\times 4}}{2\times 2}$$

Помножте -4 на 2.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-8\times 4}}{2\times 2}$$

Помножте -8 на 4.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-32}}{2\times 2}$$

Додайте 9 до -32.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{-23}}{2\times 2}$$

Видобудьте квадратний корінь із -23.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{23}i}{2\times 2}$$

Число, протилежне до -3, дорівнює 3.

$$x=\frac{3±\sqrt{23}i}{2\times 2}$$

Помножте 2 на 2.

$$x=\frac{3±\sqrt{23}i}{4}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{3±\sqrt{23}i}{4} за додатного значення ±. Додайте 3 до i\sqrt{23}.

$$x=\frac{3+\sqrt{23}i}{4}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{3±\sqrt{23}i}{4} за від’ємного значення ±. Відніміть i\sqrt{23} від 3.

$$x=\frac{-\sqrt{23}i+3}{4}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{3+\sqrt{23}i}{4} x=\frac{-\sqrt{23}i+3}{4}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-3x-1=-5$$

Додайте 1 до обох сторін цього рівняння.

$$2x^{2}-3x-1-\left(-1\right)=-5-\left(-1\right)$$

Якщо відняти -1 від самого себе, залишиться 0.

$$2x^{2}-3x=-5-\left(-1\right)$$

Відніміть -1 від -5.

$$2x^{2}-3x=-4$$

Розділіть обидві сторони на 2.

$$\frac{2x^{2}-3x}{2}=-\frac{4}{2}$$

Ділення на 2 скасовує множення на 2.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=-\frac{4}{2}$$

Розділіть -4 на 2.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=-2$$

Поділіть -\frac{3}{2} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{3}{4}. Потім додайте -\frac{3}{4} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}=-2+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{3}{4} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=-2+\frac{9}{16}$$

Додайте -2 до \frac{9}{16}.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=-\frac{23}{16}$$

Розкладіть x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}=-\frac{23}{16}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{23}{16}}$$

Виконайте спрощення.

$$x-\frac{3}{4}=\frac{\sqrt{23}i}{4} x-\frac{3}{4}=-\frac{\sqrt{23}i}{4}$$

Додайте \frac{3}{4} до обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{3+\sqrt{23}i}{4} x=\frac{-\sqrt{23}i+3}{4}$$