Розв'яжіть 2x^2-11x+16=0

$$2 x ^ { 2 } - 11 x + 16 = 0$$

Знайдіть x (complex solution)

$$x=\frac{11+\sqrt{7}i}{4}\approx 2,75+0,661437828i$$

$$x=\frac{-\sqrt{7}i+11}{4}\approx 2,75-0,661437828i$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$2x^{2}-11x+16=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 2 замість a, -11 замість b і 16 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 2\times 16}}{2\times 2}$$

Піднесіть -11 до квадрата.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 2\times 16}}{2\times 2}$$

Помножте -4 на 2.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-8\times 16}}{2\times 2}$$

Помножте -8 на 16.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-128}}{2\times 2}$$

Додайте 121 до -128.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{-7}}{2\times 2}$$

Видобудьте квадратний корінь із -7.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{7}i}{2\times 2}$$

Число, протилежне до -11, дорівнює 11.

$$x=\frac{11±\sqrt{7}i}{2\times 2}$$

Помножте 2 на 2.

$$x=\frac{11±\sqrt{7}i}{4}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{11±\sqrt{7}i}{4} за додатного значення ±. Додайте 11 до i\sqrt{7}.

$$x=\frac{11+\sqrt{7}i}{4}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{11±\sqrt{7}i}{4} за від’ємного значення ±. Відніміть i\sqrt{7} від 11.

$$x=\frac{-\sqrt{7}i+11}{4}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{11+\sqrt{7}i}{4} x=\frac{-\sqrt{7}i+11}{4}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-11x+16=0$$

Відніміть 16 від обох сторін цього рівняння.

$$2x^{2}-11x+16-16=-16$$

Якщо відняти 16 від самого себе, залишиться 0.

$$2x^{2}-11x=-16$$

Розділіть обидві сторони на 2.

$$\frac{2x^{2}-11x}{2}=-\frac{16}{2}$$

Ділення на 2 скасовує множення на 2.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x=-\frac{16}{2}$$

Розділіть -16 на 2.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x=-8$$

Поділіть -\frac{11}{2} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{11}{4}. Потім додайте -\frac{11}{4} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\left(-\frac{11}{4}\right)^{2}=-8+\left(-\frac{11}{4}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{11}{4} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}=-8+\frac{121}{16}$$

Додайте -8 до \frac{121}{16}.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}=-\frac{7}{16}$$

Розкладіть x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{11}{4}\right)^{2}=-\frac{7}{16}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{4}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{7}{16}}$$

Виконайте спрощення.

$$x-\frac{11}{4}=\frac{\sqrt{7}i}{4} x-\frac{11}{4}=-\frac{\sqrt{7}i}{4}$$

Додайте \frac{11}{4} до обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{11+\sqrt{7}i}{4} x=\frac{-\sqrt{7}i+11}{4}$$