Розв'яжіть 2x^2+8x+14=0

$$2 x ^ { 2 } + 8 x + 14 = 0$$

Знайдіть x (complex solution)

$$x=-2+\sqrt{3}i\approx -2+1,732050808i$$

$$x=-\sqrt{3}i-2\approx -2-1,732050808i$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$2x^{2}+8x+14=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 2 замість a, 8 замість b і 14 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 2\times 14}}{2\times 2}$$

Піднесіть 8 до квадрата.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-4\times 2\times 14}}{2\times 2}$$

Помножте -4 на 2.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-8\times 14}}{2\times 2}$$

Помножте -8 на 14.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-112}}{2\times 2}$$

Додайте 64 до -112.

$$x=\frac{-8±\sqrt{-48}}{2\times 2}$$

Видобудьте квадратний корінь із -48.

$$x=\frac{-8±4\sqrt{3}i}{2\times 2}$$

Помножте 2 на 2.

$$x=\frac{-8±4\sqrt{3}i}{4}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-8±4\sqrt{3}i}{4} за додатного значення ±. Додайте -8 до 4i\sqrt{3}.

$$x=\frac{-8+4\sqrt{3}i}{4}$$

Розділіть -8+4i\sqrt{3} на 4.

$$x=-2+\sqrt{3}i$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-8±4\sqrt{3}i}{4} за від’ємного значення ±. Відніміть 4i\sqrt{3} від -8.

$$x=\frac{-4\sqrt{3}i-8}{4}$$

Розділіть -8-4i\sqrt{3} на 4.

$$x=-\sqrt{3}i-2$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=-2+\sqrt{3}i x=-\sqrt{3}i-2$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+8x+14=0$$

Відніміть 14 від обох сторін цього рівняння.

$$2x^{2}+8x+14-14=-14$$

Якщо відняти 14 від самого себе, залишиться 0.

$$2x^{2}+8x=-14$$

Розділіть обидві сторони на 2.

$$\frac{2x^{2}+8x}{2}=-\frac{14}{2}$$

Ділення на 2 скасовує множення на 2.

$$x^{2}+\frac{8}{2}x=-\frac{14}{2}$$

Розділіть 8 на 2.

$$x^{2}+4x=-\frac{14}{2}$$

Розділіть -14 на 2.

$$x^{2}+4x=-7$$

Поділіть 4 (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати 2. Потім додайте 2 у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}+4x+2^{2}=-7+2^{2}$$

Піднесіть 2 до квадрата.

$$x^{2}+4x+4=-7+4$$

Додайте -7 до 4.

$$x^{2}+4x+4=-3$$

Розкладіть x^{2}+4x+4 на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+2\right)^{2}=-3$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x+2\right)^{2}}=\sqrt{-3}$$

Виконайте спрощення.

$$x+2=\sqrt{3}i x+2=-\sqrt{3}i$$

Відніміть 2 від обох сторін цього рівняння.

$$x=-2+\sqrt{3}i x=-\sqrt{3}i-2$$