Розв'яжіть 2p^2-3p-18=0

$$2 p ^ { 2 } - 3 p - 18 = 0$$

Знайдіть p

$$p = \frac{3 \sqrt{17} + 3}{4} \approx 3,842329219$$

$$p=\frac{3-3\sqrt{17}}{4}\approx -2,342329219$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$2p^{2}-3p-18=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 2 замість a, -3 замість b і -18 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$p=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 2\left(-18\right)}}{2\times 2}$$

Піднесіть -3 до квадрата.

$$p=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 2\left(-18\right)}}{2\times 2}$$

Помножте -4 на 2.

$$p=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-8\left(-18\right)}}{2\times 2}$$

Помножте -8 на -18.

$$p=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+144}}{2\times 2}$$

Додайте 9 до 144.

$$p=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{153}}{2\times 2}$$

Видобудьте квадратний корінь із 153.

$$p=\frac{-\left(-3\right)±3\sqrt{17}}{2\times 2}$$

Число, протилежне до -3, дорівнює 3.

$$p=\frac{3±3\sqrt{17}}{2\times 2}$$

Помножте 2 на 2.

$$p=\frac{3±3\sqrt{17}}{4}$$

Тепер розв’яжіть рівняння p=\frac{3±3\sqrt{17}}{4} за додатного значення ±. Додайте 3 до 3\sqrt{17}.

$$p=\frac{3\sqrt{17}+3}{4}$$

Тепер розв’яжіть рівняння p=\frac{3±3\sqrt{17}}{4} за від’ємного значення ±. Відніміть 3\sqrt{17} від 3.

$$p=\frac{3-3\sqrt{17}}{4}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$p=\frac{3\sqrt{17}+3}{4} p=\frac{3-3\sqrt{17}}{4}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$2p^{2}-3p-18=0$$

Додайте 18 до обох сторін цього рівняння.

$$2p^{2}-3p-18-\left(-18\right)=-\left(-18\right)$$

Якщо відняти -18 від самого себе, залишиться 0.

$$2p^{2}-3p=-\left(-18\right)$$

Відніміть -18 від 0.

$$2p^{2}-3p=18$$

Розділіть обидві сторони на 2.

$$\frac{2p^{2}-3p}{2}=\frac{18}{2}$$

Ділення на 2 скасовує множення на 2.

$$p^{2}-\frac{3}{2}p=\frac{18}{2}$$

Розділіть 18 на 2.

$$p^{2}-\frac{3}{2}p=9$$

Поділіть -\frac{3}{2} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{3}{4}. Потім додайте -\frac{3}{4} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$p^{2}-\frac{3}{2}p+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}=9+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{3}{4} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$p^{2}-\frac{3}{2}p+\frac{9}{16}=9+\frac{9}{16}$$

Додайте 9 до \frac{9}{16}.

$$p^{2}-\frac{3}{2}p+\frac{9}{16}=\frac{153}{16}$$

Розкладіть p^{2}-\frac{3}{2}p+\frac{9}{16} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(p-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{153}{16}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(p-\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{153}{16}}$$

Виконайте спрощення.

$$p-\frac{3}{4}=\frac{3\sqrt{17}}{4} p-\frac{3}{4}=-\frac{3\sqrt{17}}{4}$$

Додайте \frac{3}{4} до обох сторін цього рівняння.

$$p=\frac{3\sqrt{17}+3}{4} p=\frac{3-3\sqrt{17}}{4}$$