Розв'яжіть 2x^2+x+3=0

$$2 { x }^{ 2 } +x+3=0$$

Знайдіть x (complex solution)

$$x=\frac{-1+\sqrt{23}i}{4}\approx -0,25+1,198957881i$$

$$x=\frac{-\sqrt{23}i-1}{4}\approx -0,25-1,198957881i$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$2x^{2}+x+3=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 2 замість a, 1 замість b і 3 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 2\times 3}}{2\times 2}$$

Піднесіть 1 до квадрата.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 2\times 3}}{2\times 2}$$

Помножте -4 на 2.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-8\times 3}}{2\times 2}$$

Помножте -8 на 3.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-24}}{2\times 2}$$

Додайте 1 до -24.

$$x=\frac{-1±\sqrt{-23}}{2\times 2}$$

Видобудьте квадратний корінь із -23.

$$x=\frac{-1±\sqrt{23}i}{2\times 2}$$

Помножте 2 на 2.

$$x=\frac{-1±\sqrt{23}i}{4}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-1±\sqrt{23}i}{4} за додатного значення ±. Додайте -1 до i\sqrt{23}.

$$x=\frac{-1+\sqrt{23}i}{4}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-1±\sqrt{23}i}{4} за від’ємного значення ±. Відніміть i\sqrt{23} від -1.

$$x=\frac{-\sqrt{23}i-1}{4}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{-1+\sqrt{23}i}{4} x=\frac{-\sqrt{23}i-1}{4}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+x+3=0$$

Відніміть 3 від обох сторін цього рівняння.

$$2x^{2}+x+3-3=-3$$

Якщо відняти 3 від самого себе, залишиться 0.

$$2x^{2}+x=-3$$

Розділіть обидві сторони на 2.

$$\frac{2x^{2}+x}{2}=-\frac{3}{2}$$

Ділення на 2 скасовує множення на 2.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=-\frac{3}{2}$$

Поділіть \frac{1}{2} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати \frac{1}{4}. Потім додайте \frac{1}{4} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=-\frac{3}{2}+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Щоб піднести \frac{1}{4} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=-\frac{3}{2}+\frac{1}{16}$$

Щоб додати -\frac{3}{2} до \frac{1}{16}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=-\frac{23}{16}$$

Розкладіть x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}=-\frac{23}{16}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{23}{16}}$$

Виконайте спрощення.

$$x+\frac{1}{4}=\frac{\sqrt{23}i}{4} x+\frac{1}{4}=-\frac{\sqrt{23}i}{4}$$

Відніміть \frac{1}{4} від обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{-1+\sqrt{23}i}{4} x=\frac{-\sqrt{23}i-1}{4}$$