Розв'яжіть 18y^2-13y-5geq0

$$18 y ^ { 2 } - 13 y - 5 \geq 0$$

Знайти y

$$y\in (-\infty,-\frac{5}{18}]\cup [1,\infty)$$

Покрокове використання формули для коренів квадратного рівняння

Щоб розв’язати нерівність, розкладіть ліву частину на множники. Квадратний многочлен можна розкласти на співмножники за допомогою перетворення ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), де x_{1} і x_{2} – розв’язки квадратного рівняння ax^{2}+bx+c=0.

$$18y^{2}-13y-5=0$$

Усі рівняння вигляду ax^{2}+bx+c=0 можна вирішити за допомогою загальної формули для квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Замініть у цій формулі 18 на a, -13 – на b, а -5 – на c.

$$y=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{\left(-13\right)^{2}-4\times 18\left(-5\right)}}{2\times 18}$$

Виконайте арифметичні операції.

$$y=\frac{13±23}{36}$$

Розв’яжіть рівняння y=\frac{13±23}{36} для випадку, коли замість ± використовується знак "плюс", і коли замість ± використовується знак "мінус".

$$y=1 y=-\frac{5}{18}$$

Перепишіть нерівність за допомогою отриманих розв’язків.

$$18\left(y-1\right)\left(y+\frac{5}{18}\right)\geq 0$$

Щоб добуток був ≥0, y-1 і y+\frac{5}{18} мають одночасно бути або ≤0, або ≥0. Розглянемо випадок, коли y-1 і y+\frac{5}{18} ≤0.

$$y-1\leq 0 y+\frac{5}{18}\leq 0$$

Обидві нерівності мають такий розв’язок: y\leq -\frac{5}{18}.

$$y\leq -\frac{5}{18}$$

Розглянемо випадок, коли y-1 і y+\frac{5}{18} ≥0.

$$y+\frac{5}{18}\geq 0 y-1\geq 0$$

Обидві нерівності мають такий розв’язок: y\geq 1.

$$y\geq 1$$

Остаточний розв’язок – об’єднання отриманих розв’язків.

$$y\leq -\frac{5}{18}\text{; }y\geq 1$$