Розв'яжіть 16x-7-4x^2

$$16x-7-4 { x }^{ 2 }$$

Розкласти на множники

$$\left(1-2x\right)\left(2x-7\right)$$

Покрокове розв’язання

Упорядкуйте многочлен, щоб привести його до стандартного вигляду. Розташуйте доданки в порядку від найвищого степеня до найнижчого.

$$-4x^{2}+16x-7$$

Розкладіть вираз на множники методом групування. Спочатку вираз потрібно переписати у вигляді -4x^{2}+ax+bx-7. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=16 ab=-4\left(-7\right)=28$$

Оскільки ab додатне, a та b мають однаковий знак. Оскільки a+b додатне, a і b – це не додатне. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює 28.

$$1,28 2,14 4,7$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$1+28=29 2+14=16 4+7=11$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює 16.

$$a=14 b=2$$

Перепишіть -4x^{2}+16x-7 як \left(-4x^{2}+14x\right)+\left(2x-7\right).

$$\left(-4x^{2}+14x\right)+\left(2x-7\right)$$

Винесіть за дужки -2x в -4x^{2}+14x.

$$-2x\left(2x-7\right)+2x-7$$

Винесіть за дужки спільний член 2x-7, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(2x-7\right)\left(-2x+1\right)$$

Покрокове використання формули для коренів квадратного рівняння

Квадратний многочлен можна розкласти на співмножники за допомогою перетворення ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), де x_{1} і x_{2} – розв’язки квадратного рівняння ax^{2}+bx+c=0.

$$-4x^{2}+16x-7=0$$

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$x=\frac{-16±\sqrt{16^{2}-4\left(-4\right)\left(-7\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Піднесіть 16 до квадрата.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-4\left(-4\right)\left(-7\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Помножте -4 на -4.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256+16\left(-7\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Помножте 16 на -7.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-112}}{2\left(-4\right)}$$

Додайте 256 до -112.

$$x=\frac{-16±\sqrt{144}}{2\left(-4\right)}$$

Видобудьте квадратний корінь із 144.

$$x=\frac{-16±12}{2\left(-4\right)}$$

Помножте 2 на -4.

$$x=\frac{-16±12}{-8}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-16±12}{-8} за додатного значення ±. Додайте -16 до 12.

$$x=-\frac{4}{-8}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 4, щоб звести дріб \frac{-4}{-8} до нескоротного вигляду.

$$x=\frac{1}{2}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-16±12}{-8} за від’ємного значення ±. Відніміть 12 від -16.

$$x=-\frac{28}{-8}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 4, щоб звести дріб \frac{-28}{-8} до нескоротного вигляду.

$$x=\frac{7}{2}$$

Розкладіть вихідний вираз на множники за принципом ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Замініть \frac{1}{2} на x_{1} та \frac{7}{2} на x_{2}.

$$-4x^{2}+16x-7=-4\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(x-\frac{7}{2}\right)$$

Щоб відняти x від \frac{1}{2}, визначте спільний знаменник і обчисліть різницю чисельників. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$-4x^{2}+16x-7=-4\times \frac{-2x+1}{-2}\left(x-\frac{7}{2}\right)$$

Щоб відняти x від \frac{7}{2}, визначте спільний знаменник і обчисліть різницю чисельників. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$-4x^{2}+16x-7=-4\times \frac{-2x+1}{-2}\times \frac{-2x+7}{-2}$$

Щоб помножити \frac{-2x+1}{-2} на \frac{-2x+7}{-2}, помножте чисельник на чисельник і знаменник на знаменник. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$-4x^{2}+16x-7=-4\times \frac{\left(-2x+1\right)\left(-2x+7\right)}{-2\left(-2\right)}$$

Помножте -2 на -2.

$$-4x^{2}+16x-7=-4\times \frac{\left(-2x+1\right)\left(-2x+7\right)}{4}$$

Відкиньте 4, тобто найбільший спільний дільник для -4 й 4.

$$-4x^{2}+16x-7=-\left(-2x+1\right)\left(-2x+7\right)$$

Обчислити

$$\left(1-2x\right)\left(2x-7\right)$$