Розв'яжіть 16x^2+8x-3=0

$$16 x ^ { 2 } + 8 x - 3 = 0$$

Знайдіть x

$$x=-\frac{3}{4}=-0,75$$

$$x=\frac{1}{4}=0,25$$

Покрокові інструкції з розкладання на множники методом групування

Щоб розв’язати рівняння, розкладіть його ліву частину на множники методом групування. Спочатку потрібно переписати ліву частину у вигляді 16x^{2}+ax+bx-3. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=8 ab=16\left(-3\right)=-48$$

Оскільки ab від'ємне, a і b протилежному знаки. Оскільки значення a+b додатне, додатне число за модулем більше за від’ємне. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює -48.

$$-1,48 -2,24 -3,16 -4,12 -6,8$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$-1+48=47 -2+24=22 -3+16=13 -4+12=8 -6+8=2$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює 8.

$$a=-4 b=12$$

Перепишіть 16x^{2}+8x-3 як \left(16x^{2}-4x\right)+\left(12x-3\right).

$$\left(16x^{2}-4x\right)+\left(12x-3\right)$$

4x на першій та 3 в друге групу.

$$4x\left(4x-1\right)+3\left(4x-1\right)$$

Винесіть за дужки спільний член 4x-1, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(4x-1\right)\left(4x+3\right)$$

Щоб знайти рішення для формул, Розв'яжіть 4x-1=0 та 4x+3=0.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{3}{4}$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$16x^{2}+8x-3=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 16 замість a, 8 замість b і -3 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 16\left(-3\right)}}{2\times 16}$$

Піднесіть 8 до квадрата.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-4\times 16\left(-3\right)}}{2\times 16}$$

Помножте -4 на 16.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-64\left(-3\right)}}{2\times 16}$$

Помножте -64 на -3.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64+192}}{2\times 16}$$

Додайте 64 до 192.

$$x=\frac{-8±\sqrt{256}}{2\times 16}$$

Видобудьте квадратний корінь із 256.

$$x=\frac{-8±16}{2\times 16}$$

Помножте 2 на 16.

$$x=\frac{-8±16}{32}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-8±16}{32} за додатного значення ±. Додайте -8 до 16.

$$x=\frac{8}{32}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 8, щоб звести дріб \frac{8}{32} до нескоротного вигляду.

$$x=\frac{1}{4}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-8±16}{32} за від’ємного значення ±. Відніміть 16 від -8.

$$x=-\frac{24}{32}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 8, щоб звести дріб \frac{-24}{32} до нескоротного вигляду.

$$x=-\frac{3}{4}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{3}{4}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$16x^{2}+8x-3=0$$

Додайте 3 до обох сторін цього рівняння.

$$16x^{2}+8x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

Якщо відняти -3 від самого себе, залишиться 0.

$$16x^{2}+8x=-\left(-3\right)$$

Відніміть -3 від 0.

$$16x^{2}+8x=3$$

Розділіть обидві сторони на 16.

$$\frac{16x^{2}+8x}{16}=\frac{3}{16}$$

Ділення на 16 скасовує множення на 16.

$$x^{2}+\frac{8}{16}x=\frac{3}{16}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 8, щоб звести дріб \frac{8}{16} до нескоротного вигляду.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=\frac{3}{16}$$

Поділіть \frac{1}{2} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати \frac{1}{4}. Потім додайте \frac{1}{4} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{3}{16}+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Щоб піднести \frac{1}{4} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{3+1}{16}$$

Щоб додати \frac{3}{16} до \frac{1}{16}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{1}{4}$$

Розкладіть x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{1}{4}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}}$$

Виконайте спрощення.

$$x+\frac{1}{4}=\frac{1}{2} x+\frac{1}{4}=-\frac{1}{2}$$

Відніміть \frac{1}{4} від обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{3}{4}$$