Розв'яжіть 15p^2+7p-2

$$15 p ^ { 2 } + 7 p - 2$$

Розкласти на множники

$$\left(5p-1\right)\left(3p+2\right)$$

Покрокове розв’язання

Розкладіть вираз на множники методом групування. Спочатку вираз потрібно переписати у вигляді 15p^{2}+ap+bp-2. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=7 ab=15\left(-2\right)=-30$$

Оскільки ab від'ємне, a і b протилежному знаки. Оскільки значення a+b додатне, додатне число за модулем більше за від’ємне. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює -30.

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює 7.

$$a=-3 b=10$$

Перепишіть 15p^{2}+7p-2 як \left(15p^{2}-3p\right)+\left(10p-2\right).

$$\left(15p^{2}-3p\right)+\left(10p-2\right)$$

3p на першій та 2 в друге групу.

$$3p\left(5p-1\right)+2\left(5p-1\right)$$

Винесіть за дужки спільний член 5p-1, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(5p-1\right)\left(3p+2\right)$$

Покрокове використання формули для коренів квадратного рівняння

Квадратний многочлен можна розкласти на співмножники за допомогою перетворення ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), де x_{1} і x_{2} – розв’язки квадратного рівняння ax^{2}+bx+c=0.

$$15p^{2}+7p-2=0$$

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$p=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 15\left(-2\right)}}{2\times 15}$$

Піднесіть 7 до квадрата.

$$p=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 15\left(-2\right)}}{2\times 15}$$

Помножте -4 на 15.

$$p=\frac{-7±\sqrt{49-60\left(-2\right)}}{2\times 15}$$

Помножте -60 на -2.

$$p=\frac{-7±\sqrt{49+120}}{2\times 15}$$

Додайте 49 до 120.

$$p=\frac{-7±\sqrt{169}}{2\times 15}$$

Видобудьте квадратний корінь із 169.

$$p=\frac{-7±13}{2\times 15}$$

Помножте 2 на 15.

$$p=\frac{-7±13}{30}$$

Тепер розв’яжіть рівняння p=\frac{-7±13}{30} за додатного значення ±. Додайте -7 до 13.

$$p=\frac{6}{30}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 6, щоб звести дріб \frac{6}{30} до нескоротного вигляду.

$$p=\frac{1}{5}$$

Тепер розв’яжіть рівняння p=\frac{-7±13}{30} за від’ємного значення ±. Відніміть 13 від -7.

$$p=-\frac{20}{30}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 10, щоб звести дріб \frac{-20}{30} до нескоротного вигляду.

$$p=-\frac{2}{3}$$

Розкладіть вихідний вираз на множники за принципом ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Замініть \frac{1}{5} на x_{1} та -\frac{2}{3} на x_{2}.

$$15p^{2}+7p-2=15\left(p-\frac{1}{5}\right)\left(p-\left(-\frac{2}{3}\right)\right)$$

Спростіть усі вирази виду p-\left(-q\right) до виразів виду p+q.

$$15p^{2}+7p-2=15\left(p-\frac{1}{5}\right)\left(p+\frac{2}{3}\right)$$

Щоб відняти p від \frac{1}{5}, визначте спільний знаменник і обчисліть різницю чисельників. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$15p^{2}+7p-2=15\times \frac{5p-1}{5}\left(p+\frac{2}{3}\right)$$

Щоб додати \frac{2}{3} до p, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$15p^{2}+7p-2=15\times \frac{5p-1}{5}\times \frac{3p+2}{3}$$

Щоб помножити \frac{5p-1}{5} на \frac{3p+2}{3}, помножте чисельник на чисельник і знаменник на знаменник. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$15p^{2}+7p-2=15\times \frac{\left(5p-1\right)\left(3p+2\right)}{5\times 3}$$

Помножте 5 на 3.

$$15p^{2}+7p-2=15\times \frac{\left(5p-1\right)\left(3p+2\right)}{15}$$

Відкиньте 15, тобто найбільший спільний дільник для 15 й 15.

$$15p^{2}+7p-2=\left(5p-1\right)\left(3p+2\right)$$

Обчислити

$$\left(5p-1\right)\left(3p+2\right)$$