Розв'яжіть 13n^2-41n-120=0

$$13 n ^ { 2 } - 41 n - 120 = 0$$

Знайдіть n

$$n = -\frac{24}{13} = -1\frac{11}{13} \approx -1,846153846$$

$$n=5$$

Покрокові інструкції з розкладання на множники методом групування

Щоб розв’язати рівняння, розкладіть його ліву частину на множники методом групування. Спочатку потрібно переписати ліву частину у вигляді 13n^{2}+an+bn-120. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=-41 ab=13\left(-120\right)=-1560$$

Оскільки ab від'ємне, a і b протилежному знаки. Оскільки значення a+b від’ємне, від’ємне число за модулем більше за додатне. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює -1560.

$$1,-1560 2,-780 3,-520 4,-390 5,-312 6,-260 8,-195 10,-156 12,-130 13,-120 15,-104 20,-78 24,-65 26,-60 30,-52 39,-40$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$1-1560=-1559 2-780=-778 3-520=-517 4-390=-386 5-312=-307 6-260=-254 8-195=-187 10-156=-146 12-130=-118 13-120=-107 15-104=-89 20-78=-58 24-65=-41 26-60=-34 30-52=-22 39-40=-1$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює -41.

$$a=-65 b=24$$

Перепишіть 13n^{2}-41n-120 як \left(13n^{2}-65n\right)+\left(24n-120\right).

$$\left(13n^{2}-65n\right)+\left(24n-120\right)$$

13n на першій та 24 в друге групу.

$$13n\left(n-5\right)+24\left(n-5\right)$$

Винесіть за дужки спільний член n-5, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(n-5\right)\left(13n+24\right)$$

Щоб знайти рішення для формул, Розв'яжіть n-5=0 та 13n+24=0.

$$n=5 n=-\frac{24}{13}$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$13n^{2}-41n-120=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 13 замість a, -41 замість b і -120 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{\left(-41\right)^{2}-4\times 13\left(-120\right)}}{2\times 13}$$

Піднесіть -41 до квадрата.

$$n=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{1681-4\times 13\left(-120\right)}}{2\times 13}$$

Помножте -4 на 13.

$$n=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{1681-52\left(-120\right)}}{2\times 13}$$

Помножте -52 на -120.

$$n=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{1681+6240}}{2\times 13}$$

Додайте 1681 до 6240.

$$n=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{7921}}{2\times 13}$$

Видобудьте квадратний корінь із 7921.

$$n=\frac{-\left(-41\right)±89}{2\times 13}$$

Число, протилежне до -41, дорівнює 41.

$$n=\frac{41±89}{2\times 13}$$

Помножте 2 на 13.

$$n=\frac{41±89}{26}$$

Тепер розв’яжіть рівняння n=\frac{41±89}{26} за додатного значення ±. Додайте 41 до 89.

$$n=\frac{130}{26}$$

Розділіть 130 на 26.

$$n=5$$

Тепер розв’яжіть рівняння n=\frac{41±89}{26} за від’ємного значення ±. Відніміть 89 від 41.

$$n=-\frac{48}{26}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 2, щоб звести дріб \frac{-48}{26} до нескоротного вигляду.

$$n=-\frac{24}{13}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$n=5 n=-\frac{24}{13}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$13n^{2}-41n-120=0$$

Додайте 120 до обох сторін цього рівняння.

$$13n^{2}-41n-120-\left(-120\right)=-\left(-120\right)$$

Якщо відняти -120 від самого себе, залишиться 0.

$$13n^{2}-41n=-\left(-120\right)$$

Відніміть -120 від 0.

$$13n^{2}-41n=120$$

Розділіть обидві сторони на 13.

$$\frac{13n^{2}-41n}{13}=\frac{120}{13}$$

Ділення на 13 скасовує множення на 13.

$$n^{2}-\frac{41}{13}n=\frac{120}{13}$$

Поділіть -\frac{41}{13} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{41}{26}. Потім додайте -\frac{41}{26} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$n^{2}-\frac{41}{13}n+\left(-\frac{41}{26}\right)^{2}=\frac{120}{13}+\left(-\frac{41}{26}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{41}{26} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$n^{2}-\frac{41}{13}n+\frac{1681}{676}=\frac{120}{13}+\frac{1681}{676}$$

Щоб додати \frac{120}{13} до \frac{1681}{676}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$n^{2}-\frac{41}{13}n+\frac{1681}{676}=\frac{7921}{676}$$

Розкладіть n^{2}-\frac{41}{13}n+\frac{1681}{676} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{41}{26}\right)^{2}=\frac{7921}{676}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(n-\frac{41}{26}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{7921}{676}}$$

Виконайте спрощення.

$$n-\frac{41}{26}=\frac{89}{26} n-\frac{41}{26}=-\frac{89}{26}$$

Додайте \frac{41}{26} до обох сторін цього рівняння.

$$n=5 n=-\frac{24}{13}$$