Розв'яжіть 12x^2-5x-3=0

$$12 x ^ { 2 } - 5 x - 3 = 0$$

Знайдіть x

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0,333333333$$

$$x=\frac{3}{4}=0,75$$

Покрокові інструкції з розкладання на множники методом групування

Щоб розв’язати рівняння, розкладіть його ліву частину на множники методом групування. Спочатку потрібно переписати ліву частину у вигляді 12x^{2}+ax+bx-3. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=-5 ab=12\left(-3\right)=-36$$

Оскільки ab від'ємне, a і b протилежному знаки. Оскільки значення a+b від’ємне, від’ємне число за модулем більше за додатне. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює -36.

$$1,-36 2,-18 3,-12 4,-9 6,-6$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$1-36=-35 2-18=-16 3-12=-9 4-9=-5 6-6=0$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює -5.

$$a=-9 b=4$$

Перепишіть 12x^{2}-5x-3 як \left(12x^{2}-9x\right)+\left(4x-3\right).

$$\left(12x^{2}-9x\right)+\left(4x-3\right)$$

Винесіть за дужки 3x в 12x^{2}-9x.

$$3x\left(4x-3\right)+4x-3$$

Винесіть за дужки спільний член 4x-3, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(4x-3\right)\left(3x+1\right)$$

Щоб знайти рішення для формул, Розв'яжіть 4x-3=0 та 3x+1=0.

$$x=\frac{3}{4} x=-\frac{1}{3}$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$12x^{2}-5x-3=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 12 замість a, -5 замість b і -3 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 12\left(-3\right)}}{2\times 12}$$

Піднесіть -5 до квадрата.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 12\left(-3\right)}}{2\times 12}$$

Помножте -4 на 12.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-48\left(-3\right)}}{2\times 12}$$

Помножте -48 на -3.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+144}}{2\times 12}$$

Додайте 25 до 144.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{169}}{2\times 12}$$

Видобудьте квадратний корінь із 169.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±13}{2\times 12}$$

Число, протилежне до -5, дорівнює 5.

$$x=\frac{5±13}{2\times 12}$$

Помножте 2 на 12.

$$x=\frac{5±13}{24}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{5±13}{24} за додатного значення ±. Додайте 5 до 13.

$$x=\frac{18}{24}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 6, щоб звести дріб \frac{18}{24} до нескоротного вигляду.

$$x=\frac{3}{4}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{5±13}{24} за від’ємного значення ±. Відніміть 13 від 5.

$$x=-\frac{8}{24}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 8, щоб звести дріб \frac{-8}{24} до нескоротного вигляду.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{3}{4} x=-\frac{1}{3}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$12x^{2}-5x-3=0$$

Додайте 3 до обох сторін цього рівняння.

$$12x^{2}-5x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

Якщо відняти -3 від самого себе, залишиться 0.

$$12x^{2}-5x=-\left(-3\right)$$

Відніміть -3 від 0.

$$12x^{2}-5x=3$$

Розділіть обидві сторони на 12.

$$\frac{12x^{2}-5x}{12}=\frac{3}{12}$$

Ділення на 12 скасовує множення на 12.

$$x^{2}-\frac{5}{12}x=\frac{3}{12}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 3, щоб звести дріб \frac{3}{12} до нескоротного вигляду.

$$x^{2}-\frac{5}{12}x=\frac{1}{4}$$

Поділіть -\frac{5}{12} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{5}{24}. Потім додайте -\frac{5}{24} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-\frac{5}{12}x+\left(-\frac{5}{24}\right)^{2}=\frac{1}{4}+\left(-\frac{5}{24}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{5}{24} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}-\frac{5}{12}x+\frac{25}{576}=\frac{1}{4}+\frac{25}{576}$$

Щоб додати \frac{1}{4} до \frac{25}{576}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}-\frac{5}{12}x+\frac{25}{576}=\frac{169}{576}$$

Розкладіть x^{2}-\frac{5}{12}x+\frac{25}{576} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{24}\right)^{2}=\frac{169}{576}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{24}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{576}}$$

Виконайте спрощення.

$$x-\frac{5}{24}=\frac{13}{24} x-\frac{5}{24}=-\frac{13}{24}$$

Додайте \frac{5}{24} до обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{3}{4} x=-\frac{1}{3}$$