Розв'яжіть 12x^2+7x-12

$$12 x ^ { 2 } + 7 x - 12$$

Розкласти на множники

$$\left(4x-3\right)\left(3x+4\right)$$

Покрокове розв’язання

Розкладіть вираз на множники методом групування. Спочатку вираз потрібно переписати у вигляді 12x^{2}+ax+bx-12. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=7 ab=12\left(-12\right)=-144$$

Оскільки ab від'ємне, a і b протилежному знаки. Оскільки значення a+b додатне, додатне число за модулем більше за від’ємне. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює -144.

$$-1,144 -2,72 -3,48 -4,36 -6,24 -8,18 -9,16 -12,12$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$-1+144=143 -2+72=70 -3+48=45 -4+36=32 -6+24=18 -8+18=10 -9+16=7 -12+12=0$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює 7.

$$a=-9 b=16$$

Перепишіть 12x^{2}+7x-12 як \left(12x^{2}-9x\right)+\left(16x-12\right).

$$\left(12x^{2}-9x\right)+\left(16x-12\right)$$

3x на першій та 4 в друге групу.

$$3x\left(4x-3\right)+4\left(4x-3\right)$$

Винесіть за дужки спільний член 4x-3, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(4x-3\right)\left(3x+4\right)$$

Покрокове використання формули для коренів квадратного рівняння

Квадратний многочлен можна розкласти на співмножники за допомогою перетворення ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), де x_{1} і x_{2} – розв’язки квадратного рівняння ax^{2}+bx+c=0.

$$12x^{2}+7x-12=0$$

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 12\left(-12\right)}}{2\times 12}$$

Піднесіть 7 до квадрата.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 12\left(-12\right)}}{2\times 12}$$

Помножте -4 на 12.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-48\left(-12\right)}}{2\times 12}$$

Помножте -48 на -12.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+576}}{2\times 12}$$

Додайте 49 до 576.

$$x=\frac{-7±\sqrt{625}}{2\times 12}$$

Видобудьте квадратний корінь із 625.

$$x=\frac{-7±25}{2\times 12}$$

Помножте 2 на 12.

$$x=\frac{-7±25}{24}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-7±25}{24} за додатного значення ±. Додайте -7 до 25.

$$x=\frac{18}{24}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 6, щоб звести дріб \frac{18}{24} до нескоротного вигляду.

$$x=\frac{3}{4}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-7±25}{24} за від’ємного значення ±. Відніміть 25 від -7.

$$x=-\frac{32}{24}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 8, щоб звести дріб \frac{-32}{24} до нескоротного вигляду.

$$x=-\frac{4}{3}$$

Розкладіть вихідний вираз на множники за принципом ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Замініть \frac{3}{4} на x_{1} та -\frac{4}{3} на x_{2}.

$$12x^{2}+7x-12=12\left(x-\frac{3}{4}\right)\left(x-\left(-\frac{4}{3}\right)\right)$$

Спростіть усі вирази виду p-\left(-q\right) до виразів виду p+q.

$$12x^{2}+7x-12=12\left(x-\frac{3}{4}\right)\left(x+\frac{4}{3}\right)$$

Щоб відняти x від \frac{3}{4}, визначте спільний знаменник і обчисліть різницю чисельників. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$12x^{2}+7x-12=12\times \frac{4x-3}{4}\left(x+\frac{4}{3}\right)$$

Щоб додати \frac{4}{3} до x, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$12x^{2}+7x-12=12\times \frac{4x-3}{4}\times \frac{3x+4}{3}$$

Щоб помножити \frac{4x-3}{4} на \frac{3x+4}{3}, помножте чисельник на чисельник і знаменник на знаменник. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$12x^{2}+7x-12=12\times \frac{\left(4x-3\right)\left(3x+4\right)}{4\times 3}$$

Помножте 4 на 3.

$$12x^{2}+7x-12=12\times \frac{\left(4x-3\right)\left(3x+4\right)}{12}$$

Відкиньте 12, тобто найбільший спільний дільник для 12 й 12.

$$12x^{2}+7x-12=\left(4x-3\right)\left(3x+4\right)$$

Обчислити

$$\left(4x-3\right)\left(3x+4\right)$$