Розв'яжіть 12x^2+36x+27=0

$$12 { x }^{ 2 } +36x+27=0$$

Знайдіть x

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1,5$$

Покрокові інструкції з розкладання на множники методом групування

Розділіть обидві сторони на 3.

$$4x^{2}+12x+9=0$$

Щоб розв’язати рівняння, розкладіть його ліву частину на множники методом групування. Спочатку потрібно переписати ліву частину у вигляді 4x^{2}+ax+bx+9. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=12 ab=4\times 9=36$$

Оскільки ab додатне, a та b мають однаковий знак. Оскільки a+b додатне, a і b – це не додатне. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює 36.

$$1,36 2,18 3,12 4,9 6,6$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$1+36=37 2+18=20 3+12=15 4+9=13 6+6=12$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює 12.

$$a=6 b=6$$

Перепишіть 4x^{2}+12x+9 як \left(4x^{2}+6x\right)+\left(6x+9\right).

$$\left(4x^{2}+6x\right)+\left(6x+9\right)$$

2x на першій та 3 в друге групу.

$$2x\left(2x+3\right)+3\left(2x+3\right)$$

Винесіть за дужки спільний член 2x+3, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(2x+3\right)\left(2x+3\right)$$

Перепишіть у вигляді квадрата двочлена.

$$\left(2x+3\right)^{2}$$

Щоб знайти розв’язок рівняння, обчисліть 2x+3=0.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$12x^{2}+36x+27=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 12 замість a, 36 замість b і 27 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-36±\sqrt{36^{2}-4\times 12\times 27}}{2\times 12}$$

Піднесіть 36 до квадрата.

$$x=\frac{-36±\sqrt{1296-4\times 12\times 27}}{2\times 12}$$

Помножте -4 на 12.

$$x=\frac{-36±\sqrt{1296-48\times 27}}{2\times 12}$$

Помножте -48 на 27.

$$x=\frac{-36±\sqrt{1296-1296}}{2\times 12}$$

Додайте 1296 до -1296.

$$x=\frac{-36±\sqrt{0}}{2\times 12}$$

Видобудьте квадратний корінь із 0.

$$x=-\frac{36}{2\times 12}$$

Помножте 2 на 12.

$$x=-\frac{36}{24}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 12, щоб звести дріб \frac{-36}{24} до нескоротного вигляду.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$12x^{2}+36x+27=0$$

Відніміть 27 від обох сторін цього рівняння.

$$12x^{2}+36x+27-27=-27$$

Якщо відняти 27 від самого себе, залишиться 0.

$$12x^{2}+36x=-27$$

Розділіть обидві сторони на 12.

$$\frac{12x^{2}+36x}{12}=-\frac{27}{12}$$

Ділення на 12 скасовує множення на 12.

$$x^{2}+\frac{36}{12}x=-\frac{27}{12}$$

Розділіть 36 на 12.

$$x^{2}+3x=-\frac{27}{12}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 3, щоб звести дріб \frac{-27}{12} до нескоротного вигляду.

$$x^{2}+3x=-\frac{9}{4}$$

Поділіть 3 (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати \frac{3}{2}. Потім додайте \frac{3}{2} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=-\frac{9}{4}+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Щоб піднести \frac{3}{2} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{-9+9}{4}$$

Щоб додати -\frac{9}{4} до \frac{9}{4}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=0$$

Розкладіть x^{2}+3x+\frac{9}{4} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=0$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Виконайте спрощення.

$$x+\frac{3}{2}=0 x+\frac{3}{2}=0$$

Відніміть \frac{3}{2} від обох сторін цього рівняння.

$$x=-\frac{3}{2} x=-\frac{3}{2}$$

Тепер рівняння розв’язано. Розв’язки збігаються.

$$x=-\frac{3}{2}$$