Розв'яжіть 1000x^2+2x+69=0

$$1000 { x }^{ 2 } +2x+69=0$$

Знайдіть x (complex solution)

$$x=\frac{-1+\sqrt{68999}i}{1000}\approx -0,001+0,262676607i$$

$$x=\frac{-\sqrt{68999}i-1}{1000}\approx -0,001-0,262676607i$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$1000x^{2}+2x+69=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 1000 замість a, 2 замість b і 69 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 1000\times 69}}{2\times 1000}$$

Піднесіть 2 до квадрата.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 1000\times 69}}{2\times 1000}$$

Помножте -4 на 1000.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4000\times 69}}{2\times 1000}$$

Помножте -4000 на 69.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-276000}}{2\times 1000}$$

Додайте 4 до -276000.

$$x=\frac{-2±\sqrt{-275996}}{2\times 1000}$$

Видобудьте квадратний корінь із -275996.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{68999}i}{2\times 1000}$$

Помножте 2 на 1000.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{68999}i}{2000}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-2±2\sqrt{68999}i}{2000} за додатного значення ±. Додайте -2 до 2i\sqrt{68999}.

$$x=\frac{-2+2\sqrt{68999}i}{2000}$$

Розділіть -2+2i\sqrt{68999} на 2000.

$$x=\frac{-1+\sqrt{68999}i}{1000}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-2±2\sqrt{68999}i}{2000} за від’ємного значення ±. Відніміть 2i\sqrt{68999} від -2.

$$x=\frac{-2\sqrt{68999}i-2}{2000}$$

Розділіть -2-2i\sqrt{68999} на 2000.

$$x=\frac{-\sqrt{68999}i-1}{1000}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{-1+\sqrt{68999}i}{1000} x=\frac{-\sqrt{68999}i-1}{1000}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$1000x^{2}+2x+69=0$$

Відніміть 69 від обох сторін цього рівняння.

$$1000x^{2}+2x+69-69=-69$$

Якщо відняти 69 від самого себе, залишиться 0.

$$1000x^{2}+2x=-69$$

Розділіть обидві сторони на 1000.

$$\frac{1000x^{2}+2x}{1000}=-\frac{69}{1000}$$

Ділення на 1000 скасовує множення на 1000.

$$x^{2}+\frac{2}{1000}x=-\frac{69}{1000}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 2, щоб звести дріб \frac{2}{1000} до нескоротного вигляду.

$$x^{2}+\frac{1}{500}x=-\frac{69}{1000}$$

Поділіть \frac{1}{500} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати \frac{1}{1000}. Потім додайте \frac{1}{1000} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}+\frac{1}{500}x+\left(\frac{1}{1000}\right)^{2}=-\frac{69}{1000}+\left(\frac{1}{1000}\right)^{2}$$

Щоб піднести \frac{1}{1000} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}+\frac{1}{500}x+\frac{1}{1000000}=-\frac{69}{1000}+\frac{1}{1000000}$$

Щоб додати -\frac{69}{1000} до \frac{1}{1000000}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}+\frac{1}{500}x+\frac{1}{1000000}=-\frac{68999}{1000000}$$

Розкладіть x^{2}+\frac{1}{500}x+\frac{1}{1000000} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{1000}\right)^{2}=-\frac{68999}{1000000}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{1000}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{68999}{1000000}}$$

Виконайте спрощення.

$$x+\frac{1}{1000}=\frac{\sqrt{68999}i}{1000} x+\frac{1}{1000}=-\frac{\sqrt{68999}i}{1000}$$

Відніміть \frac{1}{1000} від обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{-1+\sqrt{68999}i}{1000} x=\frac{-\sqrt{68999}i-1}{1000}$$