Розв'яжіть -51t+49t^2=105

$$-51t+49 { t }^{ 2 } = 105$$

Знайдіть t

$$t = \frac{\sqrt{23181} + 51}{98} \approx 2,074011008$$

$$t=\frac{51-\sqrt{23181}}{98}\approx -1,033194681$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$49t^{2}-51t=105$$

Відніміть 105 від обох сторін цього рівняння.

$$49t^{2}-51t-105=105-105$$

Якщо відняти 105 від самого себе, залишиться 0.

$$49t^{2}-51t-105=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 49 замість a, -51 замість b і -105 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-\left(-51\right)±\sqrt{\left(-51\right)^{2}-4\times 49\left(-105\right)}}{2\times 49}$$

Піднесіть -51 до квадрата.

$$t=\frac{-\left(-51\right)±\sqrt{2601-4\times 49\left(-105\right)}}{2\times 49}$$

Помножте -4 на 49.

$$t=\frac{-\left(-51\right)±\sqrt{2601-196\left(-105\right)}}{2\times 49}$$

Помножте -196 на -105.

$$t=\frac{-\left(-51\right)±\sqrt{2601+20580}}{2\times 49}$$

Додайте 2601 до 20580.

$$t=\frac{-\left(-51\right)±\sqrt{23181}}{2\times 49}$$

Число, протилежне до -51, дорівнює 51.

$$t=\frac{51±\sqrt{23181}}{2\times 49}$$

Помножте 2 на 49.

$$t=\frac{51±\sqrt{23181}}{98}$$

Тепер розв’яжіть рівняння t=\frac{51±\sqrt{23181}}{98} за додатного значення ±. Додайте 51 до \sqrt{23181}.

$$t=\frac{\sqrt{23181}+51}{98}$$

Тепер розв’яжіть рівняння t=\frac{51±\sqrt{23181}}{98} за від’ємного значення ±. Відніміть \sqrt{23181} від 51.

$$t=\frac{51-\sqrt{23181}}{98}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$t=\frac{\sqrt{23181}+51}{98} t=\frac{51-\sqrt{23181}}{98}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$49t^{2}-51t=105$$

Розділіть обидві сторони на 49.

$$\frac{49t^{2}-51t}{49}=\frac{105}{49}$$

Ділення на 49 скасовує множення на 49.

$$t^{2}-\frac{51}{49}t=\frac{105}{49}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 7, щоб звести дріб \frac{105}{49} до нескоротного вигляду.

$$t^{2}-\frac{51}{49}t=\frac{15}{7}$$

Поділіть -\frac{51}{49} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{51}{98}. Потім додайте -\frac{51}{98} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$t^{2}-\frac{51}{49}t+\left(-\frac{51}{98}\right)^{2}=\frac{15}{7}+\left(-\frac{51}{98}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{51}{98} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$t^{2}-\frac{51}{49}t+\frac{2601}{9604}=\frac{15}{7}+\frac{2601}{9604}$$

Щоб додати \frac{15}{7} до \frac{2601}{9604}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$t^{2}-\frac{51}{49}t+\frac{2601}{9604}=\frac{23181}{9604}$$

Розкладіть t^{2}-\frac{51}{49}t+\frac{2601}{9604} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-\frac{51}{98}\right)^{2}=\frac{23181}{9604}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(t-\frac{51}{98}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{23181}{9604}}$$

Виконайте спрощення.

$$t-\frac{51}{98}=\frac{\sqrt{23181}}{98} t-\frac{51}{98}=-\frac{\sqrt{23181}}{98}$$

Додайте \frac{51}{98} до обох сторін цього рівняння.

$$t=\frac{\sqrt{23181}+51}{98} t=\frac{51-\sqrt{23181}}{98}$$