Розв'яжіть -4x^2+x=-2

$$-4 { x }^{ 2 } +x=-2$$

Знайдіть x

$$x=\frac{\sqrt{33}+1}{8}\approx 0,843070331$$

$$x=\frac{1-\sqrt{33}}{8}\approx -0,593070331$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$-4x^{2}+x=-2$$

Додайте 2 до обох сторін цього рівняння.

$$-4x^{2}+x-\left(-2\right)=-2-\left(-2\right)$$

Якщо відняти -2 від самого себе, залишиться 0.

$$-4x^{2}+x-\left(-2\right)=0$$

Відніміть -2 від 0.

$$-4x^{2}+x+2=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте -4 замість a, 1 замість b і 2 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-4\right)\times 2}}{2\left(-4\right)}$$

Піднесіть 1 до квадрата.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-4\right)\times 2}}{2\left(-4\right)}$$

Помножте -4 на -4.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+16\times 2}}{2\left(-4\right)}$$

Помножте 16 на 2.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+32}}{2\left(-4\right)}$$

Додайте 1 до 32.

$$x=\frac{-1±\sqrt{33}}{2\left(-4\right)}$$

Помножте 2 на -4.

$$x=\frac{-1±\sqrt{33}}{-8}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-1±\sqrt{33}}{-8} за додатного значення ±. Додайте -1 до \sqrt{33}.

$$x=\frac{\sqrt{33}-1}{-8}$$

Розділіть -1+\sqrt{33} на -8.

$$x=\frac{1-\sqrt{33}}{8}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-1±\sqrt{33}}{-8} за від’ємного значення ±. Відніміть \sqrt{33} від -1.

$$x=\frac{-\sqrt{33}-1}{-8}$$

Розділіть -1-\sqrt{33} на -8.

$$x=\frac{\sqrt{33}+1}{8}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{1-\sqrt{33}}{8} x=\frac{\sqrt{33}+1}{8}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$-4x^{2}+x=-2$$

Розділіть обидві сторони на -4.

$$\frac{-4x^{2}+x}{-4}=-\frac{2}{-4}$$

Ділення на -4 скасовує множення на -4.

$$x^{2}+\frac{1}{-4}x=-\frac{2}{-4}$$

Розділіть 1 на -4.

$$x^{2}-\frac{1}{4}x=-\frac{2}{-4}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 2, щоб звести дріб \frac{-2}{-4} до нескоротного вигляду.

$$x^{2}-\frac{1}{4}x=\frac{1}{2}$$

Поділіть -\frac{1}{4} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{1}{8}. Потім додайте -\frac{1}{8} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-\frac{1}{4}x+\left(-\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{1}{2}+\left(-\frac{1}{8}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{1}{8} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}-\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}=\frac{1}{2}+\frac{1}{64}$$

Щоб додати \frac{1}{2} до \frac{1}{64}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}-\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}=\frac{33}{64}$$

Розкладіть x^{2}-\frac{1}{4}x+\frac{1}{64} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{33}{64}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{33}{64}}$$

Виконайте спрощення.

$$x-\frac{1}{8}=\frac{\sqrt{33}}{8} x-\frac{1}{8}=-\frac{\sqrt{33}}{8}$$

Додайте \frac{1}{8} до обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{\sqrt{33}+1}{8} x=\frac{1-\sqrt{33}}{8}$$