Розв'яжіть -3x^2+16x+128=0

$$-3 { x }^{ 2 } +16x+128=0$$

Знайдіть x

$$x = \frac{8 \sqrt{7} + 8}{3} \approx 9,722003496$$

$$x=\frac{8-8\sqrt{7}}{3}\approx -4,388670163$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$-3x^{2}+16x+128=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте -3 замість a, 16 замість b і 128 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-16±\sqrt{16^{2}-4\left(-3\right)\times 128}}{2\left(-3\right)}$$

Піднесіть 16 до квадрата.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-4\left(-3\right)\times 128}}{2\left(-3\right)}$$

Помножте -4 на -3.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256+12\times 128}}{2\left(-3\right)}$$

Помножте 12 на 128.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256+1536}}{2\left(-3\right)}$$

Додайте 256 до 1536.

$$x=\frac{-16±\sqrt{1792}}{2\left(-3\right)}$$

Видобудьте квадратний корінь із 1792.

$$x=\frac{-16±16\sqrt{7}}{2\left(-3\right)}$$

Помножте 2 на -3.

$$x=\frac{-16±16\sqrt{7}}{-6}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-16±16\sqrt{7}}{-6} за додатного значення ±. Додайте -16 до 16\sqrt{7}.

$$x=\frac{16\sqrt{7}-16}{-6}$$

Розділіть -16+16\sqrt{7} на -6.

$$x=\frac{8-8\sqrt{7}}{3}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-16±16\sqrt{7}}{-6} за від’ємного значення ±. Відніміть 16\sqrt{7} від -16.

$$x=\frac{-16\sqrt{7}-16}{-6}$$

Розділіть -16-16\sqrt{7} на -6.

$$x=\frac{8\sqrt{7}+8}{3}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{8-8\sqrt{7}}{3} x=\frac{8\sqrt{7}+8}{3}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$-3x^{2}+16x+128=0$$

Відніміть 128 від обох сторін цього рівняння.

$$-3x^{2}+16x+128-128=-128$$

Якщо відняти 128 від самого себе, залишиться 0.

$$-3x^{2}+16x=-128$$

Розділіть обидві сторони на -3.

$$\frac{-3x^{2}+16x}{-3}=-\frac{128}{-3}$$

Ділення на -3 скасовує множення на -3.

$$x^{2}+\frac{16}{-3}x=-\frac{128}{-3}$$

Розділіть 16 на -3.

$$x^{2}-\frac{16}{3}x=-\frac{128}{-3}$$

Розділіть -128 на -3.

$$x^{2}-\frac{16}{3}x=\frac{128}{3}$$

Поділіть -\frac{16}{3} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{8}{3}. Потім додайте -\frac{8}{3} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-\frac{16}{3}x+\left(-\frac{8}{3}\right)^{2}=\frac{128}{3}+\left(-\frac{8}{3}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{8}{3} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}-\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}=\frac{128}{3}+\frac{64}{9}$$

Щоб додати \frac{128}{3} до \frac{64}{9}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}-\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}=\frac{448}{9}$$

Розкладіть x^{2}-\frac{16}{3}x+\frac{64}{9} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{8}{3}\right)^{2}=\frac{448}{9}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-\frac{8}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{448}{9}}$$

Виконайте спрощення.

$$x-\frac{8}{3}=\frac{8\sqrt{7}}{3} x-\frac{8}{3}=-\frac{8\sqrt{7}}{3}$$

Додайте \frac{8}{3} до обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{8\sqrt{7}+8}{3} x=\frac{8-8\sqrt{7}}{3}$$