Розв'яжіть -2x^2+20x=48

$$-2 { x }^{ 2 } +20x=48$$

Знайдіть x

$$x=4$$

$$x=6$$

Покрокові інструкції з розкладання на множники методом групування

Відніміть 48 з обох сторін.

$$-2x^{2}+20x-48=0$$

Розділіть обидві сторони на 2.

$$-x^{2}+10x-24=0$$

Щоб розв’язати рівняння, розкладіть його ліву частину на множники методом групування. Спочатку потрібно переписати ліву частину у вигляді -x^{2}+ax+bx-24. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=10 ab=-\left(-24\right)=24$$

Оскільки ab додатне, a та b мають однаковий знак. Оскільки a+b додатне, a і b – це не додатне. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює 24.

$$1,24 2,12 3,8 4,6$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$1+24=25 2+12=14 3+8=11 4+6=10$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює 10.

$$a=6 b=4$$

Перепишіть -x^{2}+10x-24 як \left(-x^{2}+6x\right)+\left(4x-24\right).

$$\left(-x^{2}+6x\right)+\left(4x-24\right)$$

-x на першій та 4 в друге групу.

$$-x\left(x-6\right)+4\left(x-6\right)$$

Винесіть за дужки спільний член x-6, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(x-6\right)\left(-x+4\right)$$

Щоб знайти рішення для формул, Розв'яжіть x-6=0 та -x+4=0.

$$x=6 x=4$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$-2x^{2}+20x=48$$

Відніміть 48 від обох сторін цього рівняння.

$$-2x^{2}+20x-48=48-48$$

Якщо відняти 48 від самого себе, залишиться 0.

$$-2x^{2}+20x-48=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте -2 замість a, 20 замість b і -48 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-20±\sqrt{20^{2}-4\left(-2\right)\left(-48\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Піднесіть 20 до квадрата.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-4\left(-2\right)\left(-48\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Помножте -4 на -2.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400+8\left(-48\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Помножте 8 на -48.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-384}}{2\left(-2\right)}$$

Додайте 400 до -384.

$$x=\frac{-20±\sqrt{16}}{2\left(-2\right)}$$

Видобудьте квадратний корінь із 16.

$$x=\frac{-20±4}{2\left(-2\right)}$$

Помножте 2 на -2.

$$x=\frac{-20±4}{-4}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-20±4}{-4} за додатного значення ±. Додайте -20 до 4.

$$x=-\frac{16}{-4}$$

Розділіть -16 на -4.

$$x=4$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-20±4}{-4} за від’ємного значення ±. Відніміть 4 від -20.

$$x=-\frac{24}{-4}$$

Розділіть -24 на -4.

$$x=6$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=4 x=6$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$-2x^{2}+20x=48$$

Розділіть обидві сторони на -2.

$$\frac{-2x^{2}+20x}{-2}=\frac{48}{-2}$$

Ділення на -2 скасовує множення на -2.

$$x^{2}+\frac{20}{-2}x=\frac{48}{-2}$$

Розділіть 20 на -2.

$$x^{2}-10x=\frac{48}{-2}$$

Розділіть 48 на -2.

$$x^{2}-10x=-24$$

Поділіть -10 (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -5. Потім додайте -5 у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-10x+\left(-5\right)^{2}=-24+\left(-5\right)^{2}$$

Піднесіть -5 до квадрата.

$$x^{2}-10x+25=-24+25$$

Додайте -24 до 25.

$$x^{2}-10x+25=1$$

Розкладіть x^{2}-10x+25 на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-5\right)^{2}=1$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-5\right)^{2}}=\sqrt{1}$$

Виконайте спрощення.

$$x-5=1 x-5=-1$$

Додайте 5 до обох сторін цього рівняння.

$$x=6 x=4$$