Розв'яжіть -110=37587x+-491x^2

$$-110 = 37587x+-491 { x }^{ 2 }$$

Знайдіть x

$$x = \frac{\sqrt{1412998609} + 37587}{982} \approx 76,554861259$$

$$x=\frac{37587-\sqrt{1412998609}}{982}\approx -0,002926432$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Перенесіть усі змінні члени до лівої частини рівняння.

$$37587x-491x^{2}=-110$$

Додайте 110 до обох сторін.

$$37587x-491x^{2}+110=0$$

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$-491x^{2}+37587x+110=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте -491 замість a, 37587 замість b і 110 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-37587±\sqrt{37587^{2}-4\left(-491\right)\times 110}}{2\left(-491\right)}$$

Піднесіть 37587 до квадрата.

$$x=\frac{-37587±\sqrt{1412782569-4\left(-491\right)\times 110}}{2\left(-491\right)}$$

Помножте -4 на -491.

$$x=\frac{-37587±\sqrt{1412782569+1964\times 110}}{2\left(-491\right)}$$

Помножте 1964 на 110.

$$x=\frac{-37587±\sqrt{1412782569+216040}}{2\left(-491\right)}$$

Додайте 1412782569 до 216040.

$$x=\frac{-37587±\sqrt{1412998609}}{2\left(-491\right)}$$

Помножте 2 на -491.

$$x=\frac{-37587±\sqrt{1412998609}}{-982}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-37587±\sqrt{1412998609}}{-982} за додатного значення ±. Додайте -37587 до \sqrt{1412998609}.

$$x=\frac{\sqrt{1412998609}-37587}{-982}$$

Розділіть -37587+\sqrt{1412998609} на -982.

$$x=\frac{37587-\sqrt{1412998609}}{982}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-37587±\sqrt{1412998609}}{-982} за від’ємного значення ±. Відніміть \sqrt{1412998609} від -37587.

$$x=\frac{-\sqrt{1412998609}-37587}{-982}$$

Розділіть -37587-\sqrt{1412998609} на -982.

$$x=\frac{\sqrt{1412998609}+37587}{982}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{37587-\sqrt{1412998609}}{982} x=\frac{\sqrt{1412998609}+37587}{982}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Перенесіть усі змінні члени до лівої частини рівняння.

$$37587x-491x^{2}=-110$$

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$-491x^{2}+37587x=-110$$

Розділіть обидві сторони на -491.

$$\frac{-491x^{2}+37587x}{-491}=-\frac{110}{-491}$$

Ділення на -491 скасовує множення на -491.

$$x^{2}+\frac{37587}{-491}x=-\frac{110}{-491}$$

Розділіть 37587 на -491.

$$x^{2}-\frac{37587}{491}x=-\frac{110}{-491}$$

Розділіть -110 на -491.

$$x^{2}-\frac{37587}{491}x=\frac{110}{491}$$

Поділіть -\frac{37587}{491} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{37587}{982}. Потім додайте -\frac{37587}{982} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-\frac{37587}{491}x+\left(-\frac{37587}{982}\right)^{2}=\frac{110}{491}+\left(-\frac{37587}{982}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{37587}{982} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}-\frac{37587}{491}x+\frac{1412782569}{964324}=\frac{110}{491}+\frac{1412782569}{964324}$$

Щоб додати \frac{110}{491} до \frac{1412782569}{964324}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}-\frac{37587}{491}x+\frac{1412782569}{964324}=\frac{1412998609}{964324}$$

Розкладіть x^{2}-\frac{37587}{491}x+\frac{1412782569}{964324} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{37587}{982}\right)^{2}=\frac{1412998609}{964324}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-\frac{37587}{982}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1412998609}{964324}}$$

Виконайте спрощення.

$$x-\frac{37587}{982}=\frac{\sqrt{1412998609}}{982} x-\frac{37587}{982}=-\frac{\sqrt{1412998609}}{982}$$

Додайте \frac{37587}{982} до обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{\sqrt{1412998609}+37587}{982} x=\frac{37587-\sqrt{1412998609}}{982}$$