Розв'яжіть -7x^2+5x-4=0

$$- 7 x ^ { 2 } + 5 x - 4 = 0$$

Знайдіть x (complex solution)

$$x=\frac{-\sqrt{87}i+5}{14}\approx 0,357142857-0,666241361i$$

$$x=\frac{5+\sqrt{87}i}{14}\approx 0,357142857+0,666241361i$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$-7x^{2}+5x-4=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте -7 замість a, 5 замість b і -4 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\left(-7\right)\left(-4\right)}}{2\left(-7\right)}$$

Піднесіть 5 до квадрата.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\left(-7\right)\left(-4\right)}}{2\left(-7\right)}$$

Помножте -4 на -7.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+28\left(-4\right)}}{2\left(-7\right)}$$

Помножте 28 на -4.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-112}}{2\left(-7\right)}$$

Додайте 25 до -112.

$$x=\frac{-5±\sqrt{-87}}{2\left(-7\right)}$$

Видобудьте квадратний корінь із -87.

$$x=\frac{-5±\sqrt{87}i}{2\left(-7\right)}$$

Помножте 2 на -7.

$$x=\frac{-5±\sqrt{87}i}{-14}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-5±\sqrt{87}i}{-14} за додатного значення ±. Додайте -5 до i\sqrt{87}.

$$x=\frac{-5+\sqrt{87}i}{-14}$$

Розділіть -5+i\sqrt{87} на -14.

$$x=\frac{-\sqrt{87}i+5}{14}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-5±\sqrt{87}i}{-14} за від’ємного значення ±. Відніміть i\sqrt{87} від -5.

$$x=\frac{-\sqrt{87}i-5}{-14}$$

Розділіть -5-i\sqrt{87} на -14.

$$x=\frac{5+\sqrt{87}i}{14}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{-\sqrt{87}i+5}{14} x=\frac{5+\sqrt{87}i}{14}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$-7x^{2}+5x-4=0$$

Додайте 4 до обох сторін цього рівняння.

$$-7x^{2}+5x-4-\left(-4\right)=-\left(-4\right)$$

Якщо відняти -4 від самого себе, залишиться 0.

$$-7x^{2}+5x=-\left(-4\right)$$

Відніміть -4 від 0.

$$-7x^{2}+5x=4$$

Розділіть обидві сторони на -7.

$$\frac{-7x^{2}+5x}{-7}=\frac{4}{-7}$$

Ділення на -7 скасовує множення на -7.

$$x^{2}+\frac{5}{-7}x=\frac{4}{-7}$$

Розділіть 5 на -7.

$$x^{2}-\frac{5}{7}x=\frac{4}{-7}$$

Розділіть 4 на -7.

$$x^{2}-\frac{5}{7}x=-\frac{4}{7}$$

Поділіть -\frac{5}{7} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{5}{14}. Потім додайте -\frac{5}{14} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-\frac{5}{7}x+\left(-\frac{5}{14}\right)^{2}=-\frac{4}{7}+\left(-\frac{5}{14}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{5}{14} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}-\frac{5}{7}x+\frac{25}{196}=-\frac{4}{7}+\frac{25}{196}$$

Щоб додати -\frac{4}{7} до \frac{25}{196}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}-\frac{5}{7}x+\frac{25}{196}=-\frac{87}{196}$$

Розкладіть x^{2}-\frac{5}{7}x+\frac{25}{196} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{14}\right)^{2}=-\frac{87}{196}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{14}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{87}{196}}$$

Виконайте спрощення.

$$x-\frac{5}{14}=\frac{\sqrt{87}i}{14} x-\frac{5}{14}=-\frac{\sqrt{87}i}{14}$$

Додайте \frac{5}{14} до обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{5+\sqrt{87}i}{14} x=\frac{-\sqrt{87}i+5}{14}$$