Розв'яжіть -49t^2+100t-510204=0

$$- 49 t ^ { 2 } + 100 t - 510204 = 0$$

Знайдіть t

$$t=\frac{-2\sqrt{6249374}i+50}{49}\approx 1,020408163-102,035705994i$$

$$t=\frac{50+2\sqrt{6249374}i}{49}\approx 1,020408163+102,035705994i$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$-49t^{2}+100t-510204=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте -49 замість a, 100 замість b і -510204 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-100±\sqrt{100^{2}-4\left(-49\right)\left(-510204\right)}}{2\left(-49\right)}$$

Піднесіть 100 до квадрата.

$$t=\frac{-100±\sqrt{10000-4\left(-49\right)\left(-510204\right)}}{2\left(-49\right)}$$

Помножте -4 на -49.

$$t=\frac{-100±\sqrt{10000+196\left(-510204\right)}}{2\left(-49\right)}$$

Помножте 196 на -510204.

$$t=\frac{-100±\sqrt{10000-99999984}}{2\left(-49\right)}$$

Додайте 10000 до -99999984.

$$t=\frac{-100±\sqrt{-99989984}}{2\left(-49\right)}$$

Видобудьте квадратний корінь із -99989984.

$$t=\frac{-100±4\sqrt{6249374}i}{2\left(-49\right)}$$

Помножте 2 на -49.

$$t=\frac{-100±4\sqrt{6249374}i}{-98}$$

Тепер розв’яжіть рівняння t=\frac{-100±4\sqrt{6249374}i}{-98} за додатного значення ±. Додайте -100 до 4i\sqrt{6249374}.

$$t=\frac{-100+4\sqrt{6249374}i}{-98}$$

Розділіть -100+4i\sqrt{6249374} на -98.

$$t=\frac{-2\sqrt{6249374}i+50}{49}$$

Тепер розв’яжіть рівняння t=\frac{-100±4\sqrt{6249374}i}{-98} за від’ємного значення ±. Відніміть 4i\sqrt{6249374} від -100.

$$t=\frac{-4\sqrt{6249374}i-100}{-98}$$

Розділіть -100-4i\sqrt{6249374} на -98.

$$t=\frac{50+2\sqrt{6249374}i}{49}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$t=\frac{-2\sqrt{6249374}i+50}{49} t=\frac{50+2\sqrt{6249374}i}{49}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$-49t^{2}+100t-510204=0$$

Додайте 510204 до обох сторін цього рівняння.

$$-49t^{2}+100t-510204-\left(-510204\right)=-\left(-510204\right)$$

Якщо відняти -510204 від самого себе, залишиться 0.

$$-49t^{2}+100t=-\left(-510204\right)$$

Відніміть -510204 від 0.

$$-49t^{2}+100t=510204$$

Розділіть обидві сторони на -49.

$$\frac{-49t^{2}+100t}{-49}=\frac{510204}{-49}$$

Ділення на -49 скасовує множення на -49.

$$t^{2}+\frac{100}{-49}t=\frac{510204}{-49}$$

Розділіть 100 на -49.

$$t^{2}-\frac{100}{49}t=\frac{510204}{-49}$$

Розділіть 510204 на -49.

$$t^{2}-\frac{100}{49}t=-\frac{510204}{49}$$

Поділіть -\frac{100}{49} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{50}{49}. Потім додайте -\frac{50}{49} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$t^{2}-\frac{100}{49}t+\left(-\frac{50}{49}\right)^{2}=-\frac{510204}{49}+\left(-\frac{50}{49}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{50}{49} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$t^{2}-\frac{100}{49}t+\frac{2500}{2401}=-\frac{510204}{49}+\frac{2500}{2401}$$

Щоб додати -\frac{510204}{49} до \frac{2500}{2401}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$t^{2}-\frac{100}{49}t+\frac{2500}{2401}=-\frac{24997496}{2401}$$

Розкладіть t^{2}-\frac{100}{49}t+\frac{2500}{2401} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-\frac{50}{49}\right)^{2}=-\frac{24997496}{2401}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(t-\frac{50}{49}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{24997496}{2401}}$$

Виконайте спрощення.

$$t-\frac{50}{49}=\frac{2\sqrt{6249374}i}{49} t-\frac{50}{49}=-\frac{2\sqrt{6249374}i}{49}$$

Додайте \frac{50}{49} до обох сторін цього рівняння.

$$t=\frac{50+2\sqrt{6249374}i}{49} t=\frac{-2\sqrt{6249374}i+50}{49}$$