Розв'яжіть -48w^2+24w+105

$$- 48 w ^ { 2 } + 24 w + 105$$

Розкласти на множники

$$3\left(-4w-5\right)\left(4w-7\right)$$

Покрокове розв’язання

Винесіть 3 за дужки.

$$3\left(-16w^{2}+8w+35\right)$$

Розглянемо -16w^{2}+8w+35. Розкладіть вираз на множники методом групування. Спочатку вираз потрібно переписати у вигляді -16w^{2}+aw+bw+35. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=8 ab=-16\times 35=-560$$

Оскільки ab від'ємне, a і b протилежному знаки. Оскільки значення a+b додатне, додатне число за модулем більше за від’ємне. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює -560.

$$-1,560 -2,280 -4,140 -5,112 -7,80 -8,70 -10,56 -14,40 -16,35 -20,28$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$-1+560=559 -2+280=278 -4+140=136 -5+112=107 -7+80=73 -8+70=62 -10+56=46 -14+40=26 -16+35=19 -20+28=8$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює 8.

$$a=28 b=-20$$

Перепишіть -16w^{2}+8w+35 як \left(-16w^{2}+28w\right)+\left(-20w+35\right).

$$\left(-16w^{2}+28w\right)+\left(-20w+35\right)$$

-4w на першій та -5 в друге групу.

$$-4w\left(4w-7\right)-5\left(4w-7\right)$$

Винесіть за дужки спільний член 4w-7, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(4w-7\right)\left(-4w-5\right)$$

Переписати повністю розкладений на множники вираз.

$$3\left(4w-7\right)\left(-4w-5\right)$$

Покрокове використання формули для коренів квадратного рівняння

Квадратний многочлен можна розкласти на співмножники за допомогою перетворення ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), де x_{1} і x_{2} – розв’язки квадратного рівняння ax^{2}+bx+c=0.

$$-48w^{2}+24w+105=0$$

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$w=\frac{-24±\sqrt{24^{2}-4\left(-48\right)\times 105}}{2\left(-48\right)}$$

Піднесіть 24 до квадрата.

$$w=\frac{-24±\sqrt{576-4\left(-48\right)\times 105}}{2\left(-48\right)}$$

Помножте -4 на -48.

$$w=\frac{-24±\sqrt{576+192\times 105}}{2\left(-48\right)}$$

Помножте 192 на 105.

$$w=\frac{-24±\sqrt{576+20160}}{2\left(-48\right)}$$

Додайте 576 до 20160.

$$w=\frac{-24±\sqrt{20736}}{2\left(-48\right)}$$

Видобудьте квадратний корінь із 20736.

$$w=\frac{-24±144}{2\left(-48\right)}$$

Помножте 2 на -48.

$$w=\frac{-24±144}{-96}$$

Тепер розв’яжіть рівняння w=\frac{-24±144}{-96} за додатного значення ±. Додайте -24 до 144.

$$w=\frac{120}{-96}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 24, щоб звести дріб \frac{120}{-96} до нескоротного вигляду.

$$w=-\frac{5}{4}$$

Тепер розв’яжіть рівняння w=\frac{-24±144}{-96} за від’ємного значення ±. Відніміть 144 від -24.

$$w=-\frac{168}{-96}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 24, щоб звести дріб \frac{-168}{-96} до нескоротного вигляду.

$$w=\frac{7}{4}$$

Розкладіть вихідний вираз на множники за принципом ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Замініть -\frac{5}{4} на x_{1} та \frac{7}{4} на x_{2}.

$$-48w^{2}+24w+105=-48\left(w-\left(-\frac{5}{4}\right)\right)\left(w-\frac{7}{4}\right)$$

Спростіть усі вирази виду p-\left(-q\right) до виразів виду p+q.

$$-48w^{2}+24w+105=-48\left(w+\frac{5}{4}\right)\left(w-\frac{7}{4}\right)$$

Щоб додати \frac{5}{4} до w, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$-48w^{2}+24w+105=-48\times \frac{-4w-5}{-4}\left(w-\frac{7}{4}\right)$$

Щоб відняти w від \frac{7}{4}, визначте спільний знаменник і обчисліть різницю чисельників. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$-48w^{2}+24w+105=-48\times \frac{-4w-5}{-4}\times \frac{-4w+7}{-4}$$

Щоб помножити \frac{-4w-5}{-4} на \frac{-4w+7}{-4}, помножте чисельник на чисельник і знаменник на знаменник. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$-48w^{2}+24w+105=-48\times \frac{\left(-4w-5\right)\left(-4w+7\right)}{-4\left(-4\right)}$$

Помножте -4 на -4.

$$-48w^{2}+24w+105=-48\times \frac{\left(-4w-5\right)\left(-4w+7\right)}{16}$$

Відкиньте 16, тобто найбільший спільний дільник для -48 й 16.

$$-48w^{2}+24w+105=-3\left(-4w-5\right)\left(-4w+7\right)$$

Обчислити

$$105+24w-48w^{2}$$