Розв'яжіть -3h^2+3h-1=0

$$- 3 h ^ { 2 } + 3 h - 1 = 0$$

Знайдіть h

$$h=-\frac{\sqrt{3}i}{6}+\frac{1}{2}\approx 0,5-0,288675135i$$

$$h=\frac{\sqrt{3}i}{6}+\frac{1}{2}\approx 0,5+0,288675135i$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$-3h^{2}+3h-1=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте -3 замість a, 3 замість b і -1 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$h=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-3\right)\left(-1\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Піднесіть 3 до квадрата.

$$h=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-3\right)\left(-1\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Помножте -4 на -3.

$$h=\frac{-3±\sqrt{9+12\left(-1\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Помножте 12 на -1.

$$h=\frac{-3±\sqrt{9-12}}{2\left(-3\right)}$$

Додайте 9 до -12.

$$h=\frac{-3±\sqrt{-3}}{2\left(-3\right)}$$

Видобудьте квадратний корінь із -3.

$$h=\frac{-3±\sqrt{3}i}{2\left(-3\right)}$$

Помножте 2 на -3.

$$h=\frac{-3±\sqrt{3}i}{-6}$$

Тепер розв’яжіть рівняння h=\frac{-3±\sqrt{3}i}{-6} за додатного значення ±. Додайте -3 до i\sqrt{3}.

$$h=\frac{-3+\sqrt{3}i}{-6}$$

Розділіть -3+i\sqrt{3} на -6.

$$h=-\frac{\sqrt{3}i}{6}+\frac{1}{2}$$

Тепер розв’яжіть рівняння h=\frac{-3±\sqrt{3}i}{-6} за від’ємного значення ±. Відніміть i\sqrt{3} від -3.

$$h=\frac{-\sqrt{3}i-3}{-6}$$

Розділіть -3-i\sqrt{3} на -6.

$$h=\frac{\sqrt{3}i}{6}+\frac{1}{2}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$h=-\frac{\sqrt{3}i}{6}+\frac{1}{2} h=\frac{\sqrt{3}i}{6}+\frac{1}{2}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$-3h^{2}+3h-1=0$$

Додайте 1 до обох сторін цього рівняння.

$$-3h^{2}+3h-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Якщо відняти -1 від самого себе, залишиться 0.

$$-3h^{2}+3h=-\left(-1\right)$$

Відніміть -1 від 0.

$$-3h^{2}+3h=1$$

Розділіть обидві сторони на -3.

$$\frac{-3h^{2}+3h}{-3}=\frac{1}{-3}$$

Ділення на -3 скасовує множення на -3.

$$h^{2}+\frac{3}{-3}h=\frac{1}{-3}$$

Розділіть 3 на -3.

$$h^{2}-h=\frac{1}{-3}$$

Розділіть 1 на -3.

$$h^{2}-h=-\frac{1}{3}$$

Поділіть -1 (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{1}{2}. Потім додайте -\frac{1}{2} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$h^{2}-h+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{1}{3}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{1}{2} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$h^{2}-h+\frac{1}{4}=-\frac{1}{3}+\frac{1}{4}$$

Щоб додати -\frac{1}{3} до \frac{1}{4}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$h^{2}-h+\frac{1}{4}=-\frac{1}{12}$$

Розкладіть h^{2}-h+\frac{1}{4} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(h-\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{1}{12}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(h-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{1}{12}}$$

Виконайте спрощення.

$$h-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}i}{6} h-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{3}i}{6}$$

Додайте \frac{1}{2} до обох сторін цього рівняння.

$$h=\frac{\sqrt{3}i}{6}+\frac{1}{2} h=-\frac{\sqrt{3}i}{6}+\frac{1}{2}$$