Розв'яжіть -2x^2+3x+2<0

$$- 2 x ^ { 2 } + 3 x + 2 < 0$$

Знайти x

$$x\in \left(-\infty,-\frac{1}{2}\right)\cup \left(2,\infty\right)$$

Покрокове використання формули для коренів квадратного рівняння

Помножте нерівність на -1, щоб коефіцієнт при найвищому ступені в -2x^{2}+3x+2 був додатний. Оскільки -1 від'ємне, нерівність напрямок.

$$2x^{2}-3x-2>0$$

Щоб розв’язати нерівність, розкладіть ліву частину на множники. Квадратний многочлен можна розкласти на співмножники за допомогою перетворення ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), де x_{1} і x_{2} – розв’язки квадратного рівняння ax^{2}+bx+c=0.

$$2x^{2}-3x-2=0$$

Усі рівняння вигляду ax^{2}+bx+c=0 можна вирішити за допомогою загальної формули для квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Замініть у цій формулі 2 на a, -3 – на b, а -2 – на c.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 2\left(-2\right)}}{2\times 2}$$

Виконайте арифметичні операції.

$$x=\frac{3±5}{4}$$

Розв’яжіть рівняння x=\frac{3±5}{4} для випадку, коли замість ± використовується знак "плюс", і коли замість ± використовується знак "мінус".

$$x=2 x=-\frac{1}{2}$$

Перепишіть нерівність за допомогою отриманих розв’язків.

$$2\left(x-2\right)\left(x+\frac{1}{2}\right)>0$$

Щоб добуток був додатний, x-2 і x+\frac{1}{2} мають одночасно бути або додатними, або від’ємними. Розглянемо випадок, коли x-2 і x+\frac{1}{2} від’ємні.

$$x-2<0 x+\frac{1}{2}<0$$

Обидві нерівності мають такий розв’язок: x<-\frac{1}{2}.

$$x<-\frac{1}{2}$$

Розглянемо випадок, коли x-2 і x+\frac{1}{2} додатні.

$$x+\frac{1}{2}>0 x-2>0$$

Обидві нерівності мають такий розв’язок: x>2.

$$x>2$$

Остаточний розв’язок – об’єднання отриманих розв’язків.

$$x<-\frac{1}{2}\text{; }x>2$$