Розв'яжіть -2x^2+2x+15=0

$$- 2 x ^ { 2 } + 2 x + 15 = 0$$

Знайдіть x

$$x = \frac{\sqrt{31} + 1}{2} \approx 3,283882181$$

$$x=\frac{1-\sqrt{31}}{2}\approx -2,283882181$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$-2x^{2}+2x+15=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте -2 замість a, 2 замість b і 15 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\left(-2\right)\times 15}}{2\left(-2\right)}$$

Піднесіть 2 до квадрата.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\left(-2\right)\times 15}}{2\left(-2\right)}$$

Помножте -4 на -2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+8\times 15}}{2\left(-2\right)}$$

Помножте 8 на 15.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+120}}{2\left(-2\right)}$$

Додайте 4 до 120.

$$x=\frac{-2±\sqrt{124}}{2\left(-2\right)}$$

Видобудьте квадратний корінь із 124.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{31}}{2\left(-2\right)}$$

Помножте 2 на -2.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{31}}{-4}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-2±2\sqrt{31}}{-4} за додатного значення ±. Додайте -2 до 2\sqrt{31}.

$$x=\frac{2\sqrt{31}-2}{-4}$$

Розділіть -2+2\sqrt{31} на -4.

$$x=\frac{1-\sqrt{31}}{2}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-2±2\sqrt{31}}{-4} за від’ємного значення ±. Відніміть 2\sqrt{31} від -2.

$$x=\frac{-2\sqrt{31}-2}{-4}$$

Розділіть -2-2\sqrt{31} на -4.

$$x=\frac{\sqrt{31}+1}{2}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{1-\sqrt{31}}{2} x=\frac{\sqrt{31}+1}{2}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$-2x^{2}+2x+15=0$$

Відніміть 15 від обох сторін цього рівняння.

$$-2x^{2}+2x+15-15=-15$$

Якщо відняти 15 від самого себе, залишиться 0.

$$-2x^{2}+2x=-15$$

Розділіть обидві сторони на -2.

$$\frac{-2x^{2}+2x}{-2}=-\frac{15}{-2}$$

Ділення на -2 скасовує множення на -2.

$$x^{2}+\frac{2}{-2}x=-\frac{15}{-2}$$

Розділіть 2 на -2.

$$x^{2}-x=-\frac{15}{-2}$$

Розділіть -15 на -2.

$$x^{2}-x=\frac{15}{2}$$

Поділіть -1 (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{1}{2}. Потім додайте -\frac{1}{2} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{15}{2}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{1}{2} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{15}{2}+\frac{1}{4}$$

Щоб додати \frac{15}{2} до \frac{1}{4}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{31}{4}$$

Розкладіть x^{2}-x+\frac{1}{4} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{31}{4}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{31}{4}}$$

Виконайте спрощення.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{31}}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{31}}{2}$$

Додайте \frac{1}{2} до обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{\sqrt{31}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{31}}{2}$$