Розв'яжіть (2x-3)(x+1)-(x-2)<0

$$(2x-3)(x+1)-(x-2) < 0$$

Знайти x

$$x\in \left(\frac{1-\sqrt{3}}{2},\frac{\sqrt{3}+1}{2}\right)$$

Покрокове використання формули для коренів квадратного рівняння

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити 2x-3 на x+1 і звести подібні члени.

$$2x^{2}-x-3-\left(x-2\right)<0$$

Щоб знайти протилежне виразу x-2, знайдіть протилежне значення для кожного члена.

$$2x^{2}-x-3-x+2<0$$

Додайте -x до -x, щоб отримати -2x.

$$2x^{2}-2x-3+2<0$$

Додайте -3 до 2, щоб обчислити -1.

$$2x^{2}-2x-1<0$$

Щоб розв’язати нерівність, розкладіть ліву частину на множники. Квадратний многочлен можна розкласти на співмножники за допомогою перетворення ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), де x_{1} і x_{2} – розв’язки квадратного рівняння ax^{2}+bx+c=0.

$$2x^{2}-2x-1=0$$

Усі рівняння вигляду ax^{2}+bx+c=0 можна вирішити за допомогою загальної формули для квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Замініть у цій формулі 2 на a, -2 – на b, а -1 – на c.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Виконайте арифметичні операції.

$$x=\frac{2±2\sqrt{3}}{4}$$

Розв’яжіть рівняння x=\frac{2±2\sqrt{3}}{4} для випадку, коли замість ± використовується знак "плюс", і коли замість ± використовується знак "мінус".

$$x=\frac{\sqrt{3}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$$

Перепишіть нерівність за допомогою отриманих розв’язків.

$$2\left(x-\frac{\sqrt{3}+1}{2}\right)\left(x-\frac{1-\sqrt{3}}{2}\right)<0$$

Щоб добуток був від’ємний, x-\frac{\sqrt{3}+1}{2} і x-\frac{1-\sqrt{3}}{2} мають бути протилежних знаків. Розглянемо випадок, коли x-\frac{\sqrt{3}+1}{2} має додатне значення, а x-\frac{1-\sqrt{3}}{2} – від’ємне.

$$x-\frac{\sqrt{3}+1}{2}>0 x-\frac{1-\sqrt{3}}{2}<0$$

Це не виконується для жодного значення x.

$$x\in \emptyset$$

Розглянемо випадок, коли x-\frac{1-\sqrt{3}}{2} має додатне значення, а x-\frac{\sqrt{3}+1}{2} – від’ємне.

$$x-\frac{1-\sqrt{3}}{2}>0 x-\frac{\sqrt{3}+1}{2}<0$$

Обидві нерівності мають такий розв’язок: x\in \left(\frac{1-\sqrt{3}}{2},\frac{\sqrt{3}+1}{2}\right).

$$x\in \left(\frac{1-\sqrt{3}}{2},\frac{\sqrt{3}+1}{2}\right)$$

Остаточний розв’язок – об’єднання отриманих розв’язків.

$$x\in \left(\frac{1-\sqrt{3}}{2},\frac{\sqrt{3}+1}{2}\right)$$