Розв'яжіть (20-x)(100+20x)=2240

$$(20-x)(100+20x)=2240$$

Знайдіть x

$$x = \frac{\sqrt{177} + 15}{2} \approx 14,152067348$$

$$x=\frac{15-\sqrt{177}}{2}\approx 0,847932652$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити 20-x на 100+20x і звести подібні члени.

$$2000+300x-20x^{2}=2240$$

Відніміть 2240 з обох сторін.

$$2000+300x-20x^{2}-2240=0$$

Відніміть 2240 від 2000, щоб отримати -240.

$$-240+300x-20x^{2}=0$$

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$-20x^{2}+300x-240=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте -20 замість a, 300 замість b і -240 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-300±\sqrt{300^{2}-4\left(-20\right)\left(-240\right)}}{2\left(-20\right)}$$

Піднесіть 300 до квадрата.

$$x=\frac{-300±\sqrt{90000-4\left(-20\right)\left(-240\right)}}{2\left(-20\right)}$$

Помножте -4 на -20.

$$x=\frac{-300±\sqrt{90000+80\left(-240\right)}}{2\left(-20\right)}$$

Помножте 80 на -240.

$$x=\frac{-300±\sqrt{90000-19200}}{2\left(-20\right)}$$

Додайте 90000 до -19200.

$$x=\frac{-300±\sqrt{70800}}{2\left(-20\right)}$$

Видобудьте квадратний корінь із 70800.

$$x=\frac{-300±20\sqrt{177}}{2\left(-20\right)}$$

Помножте 2 на -20.

$$x=\frac{-300±20\sqrt{177}}{-40}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-300±20\sqrt{177}}{-40} за додатного значення ±. Додайте -300 до 20\sqrt{177}.

$$x=\frac{20\sqrt{177}-300}{-40}$$

Розділіть -300+20\sqrt{177} на -40.

$$x=\frac{15-\sqrt{177}}{2}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-300±20\sqrt{177}}{-40} за від’ємного значення ±. Відніміть 20\sqrt{177} від -300.

$$x=\frac{-20\sqrt{177}-300}{-40}$$

Розділіть -300-20\sqrt{177} на -40.

$$x=\frac{\sqrt{177}+15}{2}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{15-\sqrt{177}}{2} x=\frac{\sqrt{177}+15}{2}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити 20-x на 100+20x і звести подібні члени.

$$2000+300x-20x^{2}=2240$$

Відніміть 2000 з обох сторін.

$$300x-20x^{2}=2240-2000$$

Відніміть 2000 від 2240, щоб отримати 240.

$$300x-20x^{2}=240$$

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$-20x^{2}+300x=240$$

Розділіть обидві сторони на -20.

$$\frac{-20x^{2}+300x}{-20}=\frac{240}{-20}$$

Ділення на -20 скасовує множення на -20.

$$x^{2}+\frac{300}{-20}x=\frac{240}{-20}$$

Розділіть 300 на -20.

$$x^{2}-15x=\frac{240}{-20}$$

Розділіть 240 на -20.

$$x^{2}-15x=-12$$

Поділіть -15 (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{15}{2}. Потім додайте -\frac{15}{2} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-15x+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}=-12+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{15}{2} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}-15x+\frac{225}{4}=-12+\frac{225}{4}$$

Додайте -12 до \frac{225}{4}.

$$x^{2}-15x+\frac{225}{4}=\frac{177}{4}$$

Розкладіть x^{2}-15x+\frac{225}{4} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{15}{2}\right)^{2}=\frac{177}{4}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-\frac{15}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{177}{4}}$$

Виконайте спрощення.

$$x-\frac{15}{2}=\frac{\sqrt{177}}{2} x-\frac{15}{2}=-\frac{\sqrt{177}}{2}$$

Додайте \frac{15}{2} до обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{\sqrt{177}+15}{2} x=\frac{15-\sqrt{177}}{2}$$