Розв'яжіть (x-3)^2<2

$$( x - 3 ) ^ { 2 } < 2$$

Знайти x

$$x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right)$$

Покрокове розв’язання

Щоб розв’язати нерівність, розкладіть ліву частину на множники. Квадратний многочлен можна розкласти на співмножники за допомогою перетворення ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), де x_{1} і x_{2} – розв’язки квадратного рівняння ax^{2}+bx+c=0.

$$\left(x-3\right)^{2}=0$$

Усі рівняння вигляду ax^{2}+bx+c=0 можна вирішити за допомогою загальної формули для квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Замініть у цій формулі 1 на a, -6 – на b, а 7 – на c.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\times 1\times 7}}{2}$$

Виконайте арифметичні операції.

$$x=\frac{6±2\sqrt{2}}{2}$$

Розв’яжіть рівняння x=\frac{6±2\sqrt{2}}{2} для випадку, коли замість ± використовується знак "плюс", і коли замість ± використовується знак "мінус".

$$x=\sqrt{2}+3 x=3-\sqrt{2}$$

Перепишіть нерівність за допомогою отриманих розв’язків.

$$\left(x-\left(\sqrt{2}+3\right)\right)\left(x-\left(3-\sqrt{2}\right)\right)<0$$

Щоб добуток був від’ємний, x-\left(\sqrt{2}+3\right) і x-\left(3-\sqrt{2}\right) мають бути протилежних знаків. Розглянемо випадок, коли x-\left(\sqrt{2}+3\right) має додатне значення, а x-\left(3-\sqrt{2}\right) – від’ємне.

$$x-\left(\sqrt{2}+3\right)>0 x-\left(3-\sqrt{2}\right)<0$$

Це не виконується для жодного значення x.

$$x\in \emptyset$$

Розглянемо випадок, коли x-\left(3-\sqrt{2}\right) має додатне значення, а x-\left(\sqrt{2}+3\right) – від’ємне.

$$x-\left(3-\sqrt{2}\right)>0 x-\left(\sqrt{2}+3\right)<0$$

Обидві нерівності мають такий розв’язок: x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right).

$$x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right)$$

Остаточний розв’язок – об’єднання отриманих розв’язків.

$$x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right)$$