Розв'яжіть (3+r)^2+(15+r)^2=18^2

$$( 3 + r ) ^ { 2 } + ( 15 + r ) ^ { 2 } = 18 ^ { 2 }$$

Знайдіть r

$$r=3\sqrt{14}-9\approx 2,22497216$$

$$r=-3\sqrt{14}-9\approx -20,22497216$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Скористайтеся біномом Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, щоб розкрити дужки в \left(3+r\right)^{2}.

$$9+6r+r^{2}+\left(15+r\right)^{2}=18^{2}$$

Скористайтеся біномом Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, щоб розкрити дужки в \left(15+r\right)^{2}.

$$9+6r+r^{2}+225+30r+r^{2}=18^{2}$$

Додайте 9 до 225, щоб обчислити 234.

$$234+6r+r^{2}+30r+r^{2}=18^{2}$$

Додайте 6r до 30r, щоб отримати 36r.

$$234+36r+r^{2}+r^{2}=18^{2}$$

Додайте r^{2} до r^{2}, щоб отримати 2r^{2}.

$$234+36r+2r^{2}=18^{2}$$

Обчисліть 18 у степені 2 і отримайте 324.

$$234+36r+2r^{2}=324$$

Відніміть 324 з обох сторін.

$$234+36r+2r^{2}-324=0$$

Відніміть 324 від 234, щоб отримати -90.

$$-90+36r+2r^{2}=0$$

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$2r^{2}+36r-90=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 2 замість a, 36 замість b і -90 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$r=\frac{-36±\sqrt{36^{2}-4\times 2\left(-90\right)}}{2\times 2}$$

Піднесіть 36 до квадрата.

$$r=\frac{-36±\sqrt{1296-4\times 2\left(-90\right)}}{2\times 2}$$

Помножте -4 на 2.

$$r=\frac{-36±\sqrt{1296-8\left(-90\right)}}{2\times 2}$$

Помножте -8 на -90.

$$r=\frac{-36±\sqrt{1296+720}}{2\times 2}$$

Додайте 1296 до 720.

$$r=\frac{-36±\sqrt{2016}}{2\times 2}$$

Видобудьте квадратний корінь із 2016.

$$r=\frac{-36±12\sqrt{14}}{2\times 2}$$

Помножте 2 на 2.

$$r=\frac{-36±12\sqrt{14}}{4}$$

Тепер розв’яжіть рівняння r=\frac{-36±12\sqrt{14}}{4} за додатного значення ±. Додайте -36 до 12\sqrt{14}.

$$r=\frac{12\sqrt{14}-36}{4}$$

Розділіть -36+12\sqrt{14} на 4.

$$r=3\sqrt{14}-9$$

Тепер розв’яжіть рівняння r=\frac{-36±12\sqrt{14}}{4} за від’ємного значення ±. Відніміть 12\sqrt{14} від -36.

$$r=\frac{-12\sqrt{14}-36}{4}$$

Розділіть -36-12\sqrt{14} на 4.

$$r=-3\sqrt{14}-9$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$r=3\sqrt{14}-9 r=-3\sqrt{14}-9$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Скористайтеся біномом Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, щоб розкрити дужки в \left(3+r\right)^{2}.

$$9+6r+r^{2}+\left(15+r\right)^{2}=18^{2}$$

Скористайтеся біномом Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, щоб розкрити дужки в \left(15+r\right)^{2}.

$$9+6r+r^{2}+225+30r+r^{2}=18^{2}$$

Додайте 9 до 225, щоб обчислити 234.

$$234+6r+r^{2}+30r+r^{2}=18^{2}$$

Додайте 6r до 30r, щоб отримати 36r.

$$234+36r+r^{2}+r^{2}=18^{2}$$

Додайте r^{2} до r^{2}, щоб отримати 2r^{2}.

$$234+36r+2r^{2}=18^{2}$$

Обчисліть 18 у степені 2 і отримайте 324.

$$234+36r+2r^{2}=324$$

Відніміть 234 з обох сторін.

$$36r+2r^{2}=324-234$$

Відніміть 234 від 324, щоб отримати 90.

$$36r+2r^{2}=90$$

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$2r^{2}+36r=90$$

Розділіть обидві сторони на 2.

$$\frac{2r^{2}+36r}{2}=\frac{90}{2}$$

Ділення на 2 скасовує множення на 2.

$$r^{2}+\frac{36}{2}r=\frac{90}{2}$$

Розділіть 36 на 2.

$$r^{2}+18r=\frac{90}{2}$$

Розділіть 90 на 2.

$$r^{2}+18r=45$$

Поділіть 18 (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати 9. Потім додайте 9 у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$r^{2}+18r+9^{2}=45+9^{2}$$

Піднесіть 9 до квадрата.

$$r^{2}+18r+81=45+81$$

Додайте 45 до 81.

$$r^{2}+18r+81=126$$

Розкладіть r^{2}+18r+81 на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(r+9\right)^{2}=126$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(r+9\right)^{2}}=\sqrt{126}$$

Виконайте спрощення.

$$r+9=3\sqrt{14} r+9=-3\sqrt{14}$$

Відніміть 9 від обох сторін цього рівняння.

$$r=3\sqrt{14}-9 r=-3\sqrt{14}-9$$