Розв'яжіть x^4-4x^2+3

$${ x }^{ 4 } -4 { x }^{ 2 } +3$$

Розкласти на множники

$$\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x^{2}-3\right)$$

Покрокове розв’язання

Щоб розкласти на множники вираз, розв’яжіть рівняння, у якому він дорівнює 0.

$$x^{4}-4x^{2}+3=0$$

За теоремою про раціональні корені всі раціональні корені многочлена мають вигляд \frac{p}{q}, де p ділить вільний член 3, а q ділить старший коефіцієнт многочлена 1. Перелічіть всі можливі \frac{p}{q}.

$$±3,±1$$

Знайдіть один такий корінь, перебравши всі цілі значення, починаючи з найменшого за модулем. Якщо не вдалося знайти жодного цілого кореня, спробуйте дроби.

$$x=1$$

За допомогою Ньютона, x-k – це коефіцієнт полінома для кожного кореневого k. Розділіть x^{4}-4x^{2}+3 на x-1, щоб отримати x^{3}+x^{2}-3x-3. Щоб розкласти на множники результат, розв’яжіть рівняння, у якому він дорівнює 0.

$$x^{3}+x^{2}-3x-3=0$$

За теоремою про раціональні корені всі раціональні корені многочлена мають вигляд \frac{p}{q}, де p ділить вільний член -3, а q ділить старший коефіцієнт многочлена 1. Перелічіть всі можливі \frac{p}{q}.

$$±3,±1$$

Знайдіть один такий корінь, перебравши всі цілі значення, починаючи з найменшого за модулем. Якщо не вдалося знайти жодного цілого кореня, спробуйте дроби.

$$x=-1$$

За допомогою Ньютона, x-k – це коефіцієнт полінома для кожного кореневого k. Розділіть x^{3}+x^{2}-3x-3 на x+1, щоб отримати x^{2}-3. Щоб розкласти на множники результат, розв’яжіть рівняння, у якому він дорівнює 0.

$$x^{2}-3=0$$

Усі рівняння вигляду ax^{2}+bx+c=0 можна вирішити за допомогою загальної формули для квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Замініть у цій формулі 1 на a, 0 – на b, а -3 – на c.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 1\left(-3\right)}}{2}$$

Виконайте арифметичні операції.

$$x=\frac{0±2\sqrt{3}}{2}$$

Розв’яжіть рівняння x^{2}-3=0 для випадку, коли замість ± використовується знак "плюс", і коли замість ± використовується знак "мінус".

$$x=-\sqrt{3} x=\sqrt{3}$$

Переписати розкладений на множники вираз за допомогою отриманих коренів. Многочлен x^{2}-3 не розкладається на співмножники, бо не має раціональних коренів.

$$\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x^{2}-3\right)$$

Обчислити

$$x^{4}-4x^{2}+3$$