Розв'яжіть x^2-x-5=6

$${ x }^{ 2 } -x-5 = 6$$

Знайдіть x

$$x = \frac{3 \sqrt{5} + 1}{2} \approx 3,854101966$$

$$x=\frac{1-3\sqrt{5}}{2}\approx -2,854101966$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$x^{2}-x-5=6$$

Відніміть 6 від обох сторін цього рівняння.

$$x^{2}-x-5-6=6-6$$

Якщо відняти 6 від самого себе, залишиться 0.

$$x^{2}-x-5-6=0$$

Відніміть 6 від -5.

$$x^{2}-x-11=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 1 замість a, -1 замість b і -11 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-11\right)}}{2}$$

Помножте -4 на -11.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+44}}{2}$$

Додайте 1 до 44.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{45}}{2}$$

Видобудьте квадратний корінь із 45.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±3\sqrt{5}}{2}$$

Число, протилежне до -1, дорівнює 1.

$$x=\frac{1±3\sqrt{5}}{2}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{1±3\sqrt{5}}{2} за додатного значення ±. Додайте 1 до 3\sqrt{5}.

$$x=\frac{3\sqrt{5}+1}{2}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{1±3\sqrt{5}}{2} за від’ємного значення ±. Відніміть 3\sqrt{5} від 1.

$$x=\frac{1-3\sqrt{5}}{2}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{3\sqrt{5}+1}{2} x=\frac{1-3\sqrt{5}}{2}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-x-5=6$$

Додайте 5 до обох сторін цього рівняння.

$$x^{2}-x-5-\left(-5\right)=6-\left(-5\right)$$

Якщо відняти -5 від самого себе, залишиться 0.

$$x^{2}-x=6-\left(-5\right)$$

Відніміть -5 від 6.

$$x^{2}-x=11$$

Поділіть -1 (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{1}{2}. Потім додайте -\frac{1}{2} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=11+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{1}{2} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=11+\frac{1}{4}$$

Додайте 11 до \frac{1}{4}.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{45}{4}$$

Розкладіть x^{2}-x+\frac{1}{4} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{45}{4}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{45}{4}}$$

Виконайте спрощення.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{3\sqrt{5}}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{3\sqrt{5}}{2}$$

Додайте \frac{1}{2} до обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{3\sqrt{5}+1}{2} x=\frac{1-3\sqrt{5}}{2}$$