Розв'яжіть sqrt{x+5}=x

$$\sqrt{ x+5 } =x$$

Знайдіть x

$$x = \frac{\sqrt{21} + 1}{2} \approx 2,791287847$$

Покрокове розв’язання

Піднесіть до квадрата обидві сторони рівняння.

$$\left(\sqrt{x+5}\right)^{2}=x^{2}$$

Обчисліть \sqrt{x+5} у степені 2 і отримайте x+5.

$$x+5=x^{2}$$

Відніміть x^{2} з обох сторін.

$$x+5-x^{2}=0$$

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$-x^{2}+x+5=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте -1 замість a, 1 замість b і 5 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-1\right)\times 5}}{2\left(-1\right)}$$

Піднесіть 1 до квадрата.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-1\right)\times 5}}{2\left(-1\right)}$$

Помножте -4 на -1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+4\times 5}}{2\left(-1\right)}$$

Помножте 4 на 5.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+20}}{2\left(-1\right)}$$

Додайте 1 до 20.

$$x=\frac{-1±\sqrt{21}}{2\left(-1\right)}$$

Помножте 2 на -1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{21}}{-2}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-1±\sqrt{21}}{-2} за додатного значення ±. Додайте -1 до \sqrt{21}.

$$x=\frac{\sqrt{21}-1}{-2}$$

Розділіть -1+\sqrt{21} на -2.

$$x=\frac{1-\sqrt{21}}{2}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-1±\sqrt{21}}{-2} за від’ємного значення ±. Відніміть \sqrt{21} від -1.

$$x=\frac{-\sqrt{21}-1}{-2}$$

Розділіть -1-\sqrt{21} на -2.

$$x=\frac{\sqrt{21}+1}{2}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{1-\sqrt{21}}{2} x=\frac{\sqrt{21}+1}{2}$$

Підставте \frac{1-\sqrt{21}}{2} замість x в іншому рівнянні: \sqrt{x+5}=x.

$$\sqrt{\frac{1-\sqrt{21}}{2}+5}=\frac{1-\sqrt{21}}{2}$$

Спростіть. Значення x=\frac{1-\sqrt{21}}{2} не задовольняє рівнянню, тому що ліва та права частини рівняння мають протилежні знаки.

$$-\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\times 21^{\frac{1}{2}}\right)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\times 21^{\frac{1}{2}}$$

Підставте \frac{\sqrt{21}+1}{2} замість x в іншому рівнянні: \sqrt{x+5}=x.

$$\sqrt{\frac{\sqrt{21}+1}{2}+5}=\frac{\sqrt{21}+1}{2}$$

Спростіть. Значення x=\frac{\sqrt{21}+1}{2} задовольняє рівнянню.

$$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times 21^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}\times 21^{\frac{1}{2}}+\frac{1}{2}$$

Рівняння \sqrt{x+5}=x має один розв’язок.

$$x=\frac{\sqrt{21}+1}{2}$$