Розв'яжіть sqrt{5x-1}-sqrt{3-x}=sqrt{2x}

$$\sqrt { 5 x - 1 } - \sqrt { 3 - x } = \sqrt { 2 x }$$

Знайдіть x

$$x=2$$

Покрокове розв’язання

Піднесіть до квадрата обидві сторони рівняння.

$$\left(\sqrt{5x-1}-\sqrt{3-x}\right)^{2}=\left(\sqrt{2x}\right)^{2}$$

Скористайтеся біномом Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, щоб розкрити дужки в \left(\sqrt{5x-1}-\sqrt{3-x}\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{5x-1}\right)^{2}-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3-x}+\left(\sqrt{3-x}\right)^{2}=\left(\sqrt{2x}\right)^{2}$$

Обчисліть \sqrt{5x-1} у степені 2 і отримайте 5x-1.

$$5x-1-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3-x}+\left(\sqrt{3-x}\right)^{2}=\left(\sqrt{2x}\right)^{2}$$

Обчисліть \sqrt{3-x} у степені 2 і отримайте 3-x.

$$5x-1-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3-x}+3-x=\left(\sqrt{2x}\right)^{2}$$

Додайте -1 до 3, щоб обчислити 2.

$$5x+2-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3-x}-x=\left(\sqrt{2x}\right)^{2}$$

Додайте 5x до -x, щоб отримати 4x.

$$4x+2-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3-x}=\left(\sqrt{2x}\right)^{2}$$

Обчисліть \sqrt{2x} у степені 2 і отримайте 2x.

$$4x+2-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3-x}=2x$$

Відніміть 4x+2 від обох сторін цього рівняння.

$$-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3-x}=2x-\left(4x+2\right)$$

Щоб знайти протилежне виразу 4x+2, знайдіть протилежне значення для кожного члена.

$$-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3-x}=2x-4x-2$$

Додайте 2x до -4x, щоб отримати -2x.

$$-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3-x}=-2x-2$$

Піднесіть до квадрата обидві сторони рівняння.

$$\left(-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3-x}\right)^{2}=\left(-2x-2\right)^{2}$$

Розкладіть \left(-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3-x}\right)^{2}

$$\left(-2\right)^{2}\left(\sqrt{5x-1}\right)^{2}\left(\sqrt{3-x}\right)^{2}=\left(-2x-2\right)^{2}$$

Обчисліть -2 у степені 2 і отримайте 4.

$$4\left(\sqrt{5x-1}\right)^{2}\left(\sqrt{3-x}\right)^{2}=\left(-2x-2\right)^{2}$$

Обчисліть \sqrt{5x-1} у степені 2 і отримайте 5x-1.

$$4\left(5x-1\right)\left(\sqrt{3-x}\right)^{2}=\left(-2x-2\right)^{2}$$

Обчисліть \sqrt{3-x} у степені 2 і отримайте 3-x.

$$4\left(5x-1\right)\left(3-x\right)=\left(-2x-2\right)^{2}$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити 4 на 5x-1.

$$\left(20x-4\right)\left(3-x\right)=\left(-2x-2\right)^{2}$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності: помножте кожен член 20x-4 на кожен член 3-x.

$$60x-20x^{2}-12+4x=\left(-2x-2\right)^{2}$$

Додайте 60x до 4x, щоб отримати 64x.

$$64x-20x^{2}-12=\left(-2x-2\right)^{2}$$

Скористайтеся біномом Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, щоб розкрити дужки в \left(-2x-2\right)^{2}.

$$64x-20x^{2}-12=4x^{2}+8x+4$$

Відніміть 4x^{2} з обох сторін.

$$64x-20x^{2}-12-4x^{2}=8x+4$$

Додайте -20x^{2} до -4x^{2}, щоб отримати -24x^{2}.

$$64x-24x^{2}-12=8x+4$$

Відніміть 8x з обох сторін.

$$64x-24x^{2}-12-8x=4$$

Додайте 64x до -8x, щоб отримати 56x.

$$56x-24x^{2}-12=4$$

Відніміть 4 з обох сторін.

$$56x-24x^{2}-12-4=0$$

Відніміть 4 від -12, щоб отримати -16.

$$56x-24x^{2}-16=0$$

Розділіть обидві сторони на 8.

$$7x-3x^{2}-2=0$$

Упорядкуйте многочлен, щоб привести його до стандартного вигляду. Розташуйте доданки в порядку від найвищого степеня до найнижчого.

$$-3x^{2}+7x-2=0$$

Щоб розв’язати рівняння, розкладіть його ліву частину на множники методом групування. Спочатку потрібно переписати ліву частину у вигляді -3x^{2}+ax+bx-2. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=7 ab=-3\left(-2\right)=6$$

Оскільки ab додатне, a та b мають однаковий знак. Оскільки a+b додатне, a і b – це не додатне. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює 6.

$$1,6 2,3$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$1+6=7 2+3=5$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює 7.

$$a=6 b=1$$

Перепишіть -3x^{2}+7x-2 як \left(-3x^{2}+6x\right)+\left(x-2\right).

$$\left(-3x^{2}+6x\right)+\left(x-2\right)$$

3x на першій та -1 в друге групу.

$$3x\left(-x+2\right)-\left(-x+2\right)$$

Винесіть за дужки спільний член -x+2, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(-x+2\right)\left(3x-1\right)$$

Щоб знайти рішення для формул, Розв'яжіть -x+2=0 та 3x-1=0.

$$x=2 x=\frac{1}{3}$$

Підставте 2 замість x в іншому рівнянні: \sqrt{5x-1}-\sqrt{3-x}=\sqrt{2x}.

$$\sqrt{5\times 2-1}-\sqrt{3-2}=\sqrt{2\times 2}$$

Спростіть. Значення x=2 задовольняє рівнянню.

$$2=2$$

Підставте \frac{1}{3} замість x в іншому рівнянні: \sqrt{5x-1}-\sqrt{3-x}=\sqrt{2x}.

$$\sqrt{5\times \frac{1}{3}-1}-\sqrt{3-\frac{1}{3}}=\sqrt{2\times \frac{1}{3}}$$

Спростіть. Значення x=\frac{1}{3} не задовольняє рівнянню, тому що ліва та права частини рівняння мають протилежні знаки.

$$-\frac{1}{3}\times 6^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{3}\times 6^{\frac{1}{2}}$$

Підставте 2 замість x в іншому рівнянні: \sqrt{5x-1}-\sqrt{3-x}=\sqrt{2x}.

$$\sqrt{5\times 2-1}-\sqrt{3-2}=\sqrt{2\times 2}$$

Спростіть. Значення x=2 задовольняє рівнянню.

$$2=2$$

Рівняння \sqrt{5x-1}-\sqrt{3-x}=\sqrt{2x} має один розв’язок.

$$x=2$$