Розв'яжіть sqrt{2x+7}-3x+1=x-1

$$\sqrt { 2 x + 7 } - 3 x + 1 = x - 1$$

Знайдіть x

$$x = \frac{\sqrt{129} + 9}{16} \approx 1,272363543$$

Покрокове розв’язання

Відніміть -3x+1 від обох сторін цього рівняння.

$$\sqrt{2x+7}=x-1-\left(-3x+1\right)$$

Щоб знайти протилежне виразу -3x+1, знайдіть протилежне значення для кожного члена.

$$\sqrt{2x+7}=x-1-\left(-3x\right)-1$$

Число, протилежне до -3x, дорівнює 3x.

$$\sqrt{2x+7}=x-1+3x-1$$

Додайте x до 3x, щоб отримати 4x.

$$\sqrt{2x+7}=4x-1-1$$

Відніміть 1 від -1, щоб отримати -2.

$$\sqrt{2x+7}=4x-2$$

Піднесіть до квадрата обидві сторони рівняння.

$$\left(\sqrt{2x+7}\right)^{2}=\left(4x-2\right)^{2}$$

Обчисліть \sqrt{2x+7} у степені 2 і отримайте 2x+7.

$$2x+7=\left(4x-2\right)^{2}$$

Скористайтеся біномом Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, щоб розкрити дужки в \left(4x-2\right)^{2}.

$$2x+7=16x^{2}-16x+4$$

Відніміть 16x^{2} з обох сторін.

$$2x+7-16x^{2}=-16x+4$$

Додайте 16x до обох сторін.

$$2x+7-16x^{2}+16x=4$$

Додайте 2x до 16x, щоб отримати 18x.

$$18x+7-16x^{2}=4$$

Відніміть 4 з обох сторін.

$$18x+7-16x^{2}-4=0$$

Відніміть 4 від 7, щоб отримати 3.

$$18x+3-16x^{2}=0$$

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$-16x^{2}+18x+3=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте -16 замість a, 18 замість b і 3 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-18±\sqrt{18^{2}-4\left(-16\right)\times 3}}{2\left(-16\right)}$$

Піднесіть 18 до квадрата.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324-4\left(-16\right)\times 3}}{2\left(-16\right)}$$

Помножте -4 на -16.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324+64\times 3}}{2\left(-16\right)}$$

Помножте 64 на 3.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324+192}}{2\left(-16\right)}$$

Додайте 324 до 192.

$$x=\frac{-18±\sqrt{516}}{2\left(-16\right)}$$

Видобудьте квадратний корінь із 516.

$$x=\frac{-18±2\sqrt{129}}{2\left(-16\right)}$$

Помножте 2 на -16.

$$x=\frac{-18±2\sqrt{129}}{-32}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-18±2\sqrt{129}}{-32} за додатного значення ±. Додайте -18 до 2\sqrt{129}.

$$x=\frac{2\sqrt{129}-18}{-32}$$

Розділіть -18+2\sqrt{129} на -32.

$$x=\frac{9-\sqrt{129}}{16}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-18±2\sqrt{129}}{-32} за від’ємного значення ±. Відніміть 2\sqrt{129} від -18.

$$x=\frac{-2\sqrt{129}-18}{-32}$$

Розділіть -18-2\sqrt{129} на -32.

$$x=\frac{\sqrt{129}+9}{16}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{9-\sqrt{129}}{16} x=\frac{\sqrt{129}+9}{16}$$

Підставте \frac{9-\sqrt{129}}{16} замість x в іншому рівнянні: \sqrt{2x+7}-3x+1=x-1.

$$\sqrt{2\times \frac{9-\sqrt{129}}{16}+7}-3\times \frac{9-\sqrt{129}}{16}+1=\frac{9-\sqrt{129}}{16}-1$$

Спростіть. Значення x=\frac{9-\sqrt{129}}{16} не задовольняє рівнянню, тому що ліва та права частини рівняння мають протилежні знаки.

$$-\frac{15}{16}+\frac{7}{16}\times 129^{\frac{1}{2}}=-\frac{7}{16}-\frac{1}{16}\times 129^{\frac{1}{2}}$$

Підставте \frac{\sqrt{129}+9}{16} замість x в іншому рівнянні: \sqrt{2x+7}-3x+1=x-1.

$$\sqrt{2\times \frac{\sqrt{129}+9}{16}+7}-3\times \frac{\sqrt{129}+9}{16}+1=\frac{\sqrt{129}+9}{16}-1$$

Спростіть. Значення x=\frac{\sqrt{129}+9}{16} задовольняє рівнянню.

$$-\frac{7}{16}+\frac{1}{16}\times 129^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{16}\times 129^{\frac{1}{2}}-\frac{7}{16}$$

Рівняння \sqrt{2x+7}=4x-2 має один розв’язок.

$$x=\frac{\sqrt{129}+9}{16}$$