Розв'яжіть sinh(1)=

$$\sin h ( 1 ) =$$

Диференціювати за h

$$\cos(h)$$

Покрокові інструкції з використання визначення похідної

Похідна функції f\left(x\right) визначається як границя \frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h}, коли h прямує до 0 (якщо така границя існує).

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}h}(\sin(h))=\left(\lim_{t\to 0}\frac{\sin(h+t)-\sin(h)}{t}\right)$$

Скористайтеся формулою синуса суми.

$$\lim_{t\to 0}\frac{\sin(t+h)-\sin(h)}{t}$$

Винесіть \sin(h) за дужки.

$$\lim_{t\to 0}\frac{\sin(h)\left(\cos(t)-1\right)+\cos(h)\sin(t)}{t}$$

Перепишіть межу.

$$\left(\lim_{t\to 0}\sin(h)\right)\left(\lim_{t\to 0}\frac{\cos(t)-1}{t}\right)+\left(\lim_{t\to 0}\cos(h)\right)\left(\lim_{t\to 0}\frac{\sin(t)}{t}\right)$$

Під час обчислення границь скористайтеся тим фактом, що h прямує до константи, коли t прямує до 0.

$$\sin(h)\left(\lim_{t\to 0}\frac{\cos(t)-1}{t}\right)+\cos(h)\left(\lim_{t\to 0}\frac{\sin(t)}{t}\right)$$

Границя \lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h} дорівнює 1.

$$\sin(h)\left(\lim_{t\to 0}\frac{\cos(t)-1}{t}\right)+\cos(h)$$

Щоб обчислити границю \lim_{t\to 0}\frac{\cos(t)-1}{t}, спочатку помножте чисельник і знаменник на \cos(t)+1.

$$\left(\lim_{t\to 0}\frac{\cos(t)-1}{t}\right)=\left(\lim_{t\to 0}\frac{\left(\cos(t)-1\right)\left(\cos(t)+1\right)}{t\left(\cos(t)+1\right)}\right)$$

Помножте \cos(t)+1 на \cos(t)-1.

$$\lim_{t\to 0}\frac{\left(\cos(t)\right)^{2}-1}{t\left(\cos(t)+1\right)}$$

Скористайтеся основною тригонометричною тотожністю.

$$\lim_{t\to 0}-\frac{\left(\sin(t)\right)^{2}}{t\left(\cos(t)+1\right)}$$

Перепишіть межу.

$$\left(\lim_{t\to 0}-\frac{\sin(t)}{t}\right)\left(\lim_{t\to 0}\frac{\sin(t)}{\cos(t)+1}\right)$$

Границя \lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h} дорівнює 1.

$$-\left(\lim_{t\to 0}\frac{\sin(t)}{\cos(t)+1}\right)$$

Скористайтеся тим, що функція \frac{\sin(t)}{\cos(t)+1} неперервна в точці 0.

$$\left(\lim_{t\to 0}\frac{\sin(t)}{\cos(t)+1}\right)=0$$

Підставте значення 0 у вираз \sin(h)\left(\lim_{t\to 0}\frac{\cos(t)-1}{t}\right)+\cos(h).

$$\cos(h)$$

Обчислити

$$\sin(h)$$