Розв'яжіть pi-x^2-2x-8=0

$$\pi - x ^ { 2 } - 2 x - 8 = 0$$

Знайдіть x (complex solution)

$$x=-i\sqrt{7-\pi }-1\approx -1-1,964282909i$$

$$x=-1+i\sqrt{7-\pi }\approx -1+1,964282909i$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$-x^{2}-2x+\pi -8=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте -1 замість a, -2 замість b і \pi -8 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\left(-1\right)\left(\pi -8\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Піднесіть -2 до квадрата.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\left(-1\right)\left(\pi -8\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Помножте -4 на -1.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+4\left(\pi -8\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Помножте 4 на \pi -8.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+4\pi -32}}{2\left(-1\right)}$$

Додайте 4 до 4\pi -32.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4\pi -28}}{2\left(-1\right)}$$

Видобудьте квадратний корінь із -28+4\pi .

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2i\sqrt{7-\pi }}{2\left(-1\right)}$$

Число, протилежне до -2, дорівнює 2.

$$x=\frac{2±2i\sqrt{7-\pi }}{2\left(-1\right)}$$

Помножте 2 на -1.

$$x=\frac{2±2i\sqrt{7-\pi }}{-2}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{2±2i\sqrt{7-\pi }}{-2} за додатного значення ±. Додайте 2 до 2i\sqrt{7-\pi }.

$$x=\frac{2+2i\sqrt{7-\pi }}{-2}$$

Розділіть 2+2i\sqrt{7-\pi } на -2.

$$x=-i\sqrt{7-\pi }-1$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{2±2i\sqrt{7-\pi }}{-2} за від’ємного значення ±. Відніміть 2i\sqrt{7-\pi } від 2.

$$x=\frac{-2i\sqrt{7-\pi }+2}{-2}$$

Розділіть 2-2i\sqrt{7-\pi } на -2.

$$x=-1+i\sqrt{7-\pi }$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=-i\sqrt{7-\pi }-1 x=-1+i\sqrt{7-\pi }$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}-2x+\pi -8=0$$

Відніміть \pi -8 від обох сторін цього рівняння.

$$-x^{2}-2x+\pi -8-\left(\pi -8\right)=-\left(\pi -8\right)$$

Якщо відняти \pi -8 від самого себе, залишиться 0.

$$-x^{2}-2x=-\left(\pi -8\right)$$

Відніміть \pi -8 від 0.

$$-x^{2}-2x=8-\pi$$

Розділіть обидві сторони на -1.

$$\frac{-x^{2}-2x}{-1}=\frac{8-\pi }{-1}$$

Ділення на -1 скасовує множення на -1.

$$x^{2}+\left(-\frac{2}{-1}\right)x=\frac{8-\pi }{-1}$$

Розділіть -2 на -1.

$$x^{2}+2x=\frac{8-\pi }{-1}$$

Розділіть -\pi +8 на -1.

$$x^{2}+2x=\pi -8$$

Поділіть 2 (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати 1. Потім додайте 1 у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}+2x+1^{2}=\pi -8+1^{2}$$

Піднесіть 1 до квадрата.

$$x^{2}+2x+1=\pi -8+1$$

Додайте \pi -8 до 1.

$$x^{2}+2x+1=\pi -7$$

Розкладіть x^{2}+2x+1 на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+1\right)^{2}=\pi -7$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x+1\right)^{2}}=\sqrt{\pi -7}$$

Виконайте спрощення.

$$x+1=i\sqrt{7-\pi } x+1=-i\sqrt{7-\pi }$$

Відніміть 1 від обох сторін цього рівняння.

$$x=-1+i\sqrt{7-\pi } x=-i\sqrt{7-\pi }-1$$