Розв'яжіть ∫ 4left(5-2xright)^3 wrt x

$$\int{ 4 { \left(5-2x \right) }^{ 3 } }d x$$

Обчислити

$$-\frac{\left(5-2x\right)^{4}}{2}+С$$

Покрокове розв’язання

Скористайтеся біномом Ньютона \left(a-b\right)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}, щоб розкрити дужки в \left(5-2x\right)^{3}.

$$\int 4\left(125-150x+60x^{2}-8x^{3}\right)\mathrm{d}x$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити 4 на 125-150x+60x^{2}-8x^{3}.

$$\int 500-600x+240x^{2}-32x^{3}\mathrm{d}x$$

Інтегруйте суму почленно.

$$\int 500\mathrm{d}x+\int -600x\mathrm{d}x+\int 240x^{2}\mathrm{d}x+\int -32x^{3}\mathrm{d}x$$

Винесіть константу за дужки в кожному зі членів.

$$\int 500\mathrm{d}x-600\int x\mathrm{d}x+240\int x^{2}\mathrm{d}x-32\int x^{3}\mathrm{d}x$$

Знайдіть Інтеграл 500 за допомогою таблиці загального інтеграли правила \int a\mathrm{d}x=ax.

$$500x-600\int x\mathrm{d}x+240\int x^{2}\mathrm{d}x-32\int x^{3}\mathrm{d}x$$

Оскільки \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1, замініть \int x\mathrm{d}x з \frac{x^{2}}{2}. Помножте -600 на \frac{x^{2}}{2}.

$$500x-300x^{2}+240\int x^{2}\mathrm{d}x-32\int x^{3}\mathrm{d}x$$

Оскільки \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1, замініть \int x^{2}\mathrm{d}x з \frac{x^{3}}{3}. Помножте 240 на \frac{x^{3}}{3}.

$$500x-300x^{2}+80x^{3}-32\int x^{3}\mathrm{d}x$$

Оскільки \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1, замініть \int x^{3}\mathrm{d}x з \frac{x^{4}}{4}. Помножте -32 на \frac{x^{4}}{4}.

$$500x-300x^{2}+80x^{3}-8x^{4}$$

Якщо F\left(x\right) – це первісна f\left(x\right), а набір всіх antiderivatives f\left(x\right) надано F\left(x\right)+C. А потім додайте константи C\in \mathrm{R} інтеграції до результату.

$$500x-300x^{2}+80x^{3}-8x^{4}+С$$

Диференціювати за x

$$4\left(5-2x\right)^{3}$$