Розв'яжіть ∫ (from 0 to 2 cos θ) of r ^ 2dr

$$\int _ { 0 } ^ { 2 \cos \theta } r ^ { 2 } d r$$

Обчислити

$$\frac{8\left(\cos(\theta )\right)^{3}}{3}$$

Покрокове розв’язання

Спочатку обчисліть невизначений інтеграл.

$$\int r^{2}\mathrm{d}r$$

Оскільки \int r^{k}\mathrm{d}r=\frac{r^{k+1}}{k+1} k\neq -1, замініть \int r^{2}\mathrm{d}r з \frac{r^{3}}{3}.

$$\frac{r^{3}}{3}$$

Визначений інтеграл дорівнює різниці значень первісної виразу, обчисленої для верхньої та нижньої меж інтегрування.

$$\frac{1}{3}\times \left(2\cos(\theta )\right)^{3}-\frac{0^{3}}{3}$$

Виконайте спрощення.

$$\frac{8\left(\cos(\theta )\right)^{3}}{3}$$

Диференціювати за θ

$$-8\sin(\theta )\left(\cos(\theta )\right)^{2}$$