Розв'яжіть ∫ (from 0 to 1) of (2sqrt{y}-sqrt{y}) wrt y

$$\int _ { 0 } ^ { 1 } ( 2 \sqrt { y } - \sqrt { y } ) d y$$

Обчислити

$$\frac{2}{3}\approx 0,666666667$$

Покрокове розв’язання

Додайте 2\sqrt{y} до -\sqrt{y}, щоб отримати \sqrt{y}.

$$\int _{0}^{1}\sqrt{y}\mathrm{d}y$$

Спочатку обчисліть невизначений інтеграл.

$$\int \sqrt{y}\mathrm{d}y$$

Перепишіть \sqrt{y} як y^{\frac{1}{2}}. Оскільки \int y^{k}\mathrm{d}y=\frac{y^{k+1}}{k+1} k\neq -1, замініть \int y^{\frac{1}{2}}\mathrm{d}y з \frac{y^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}. Виконайте спрощення.

$$\frac{2y^{\frac{3}{2}}}{3}$$

Визначений інтеграл дорівнює різниці значень первісної виразу, обчисленої для верхньої та нижньої меж інтегрування.

$$\frac{2}{3}\times 1^{\frac{3}{2}}-\frac{2}{3}\times 0^{\frac{3}{2}}$$

Виконайте спрощення.

$$\frac{2}{3}$$