Розв'яжіть ∫ (from - 2 to 2) of (x^3-x^2-x+4) wrt x

$$\int _ { - 2 } ^ { 2 } ( x ^ { 3 } - x ^ { 2 } - x + 4 ) d x$$

Обчислити

$$\frac{32}{3}\approx 10,666666667$$

Покрокове розв’язання

Спочатку обчисліть невизначений інтеграл.

$$\int x^{3}-x^{2}-x+4\mathrm{d}x$$

Інтегруйте суму почленно.

$$\int x^{3}\mathrm{d}x+\int -x^{2}\mathrm{d}x+\int -x\mathrm{d}x+\int 4\mathrm{d}x$$

Винесіть константу за дужки в кожному зі членів.

$$\int x^{3}\mathrm{d}x-\int x^{2}\mathrm{d}x-\int x\mathrm{d}x+\int 4\mathrm{d}x$$

Оскільки \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1, замініть \int x^{3}\mathrm{d}x з \frac{x^{4}}{4}.

$$\frac{x^{4}}{4}-\int x^{2}\mathrm{d}x-\int x\mathrm{d}x+\int 4\mathrm{d}x$$

Оскільки \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1, замініть \int x^{2}\mathrm{d}x з \frac{x^{3}}{3}. Помножте -1 на \frac{x^{3}}{3}.

$$\frac{x^{4}}{4}-\frac{x^{3}}{3}-\int x\mathrm{d}x+\int 4\mathrm{d}x$$

Оскільки \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1, замініть \int x\mathrm{d}x з \frac{x^{2}}{2}. Помножте -1 на \frac{x^{2}}{2}.

$$\frac{x^{4}}{4}-\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{2}}{2}+\int 4\mathrm{d}x$$

Знайдіть Інтеграл 4 за допомогою таблиці загального інтеграли правила \int a\mathrm{d}x=ax.

$$\frac{x^{4}}{4}-\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{2}}{2}+4x$$

Визначений інтеграл дорівнює різниці значень первісної виразу, обчисленої для верхньої та нижньої меж інтегрування.

$$\frac{2^{4}}{4}-\frac{2^{3}}{3}-\frac{2^{2}}{2}+4\times 2-\left(\frac{\left(-2\right)^{4}}{4}-\frac{\left(-2\right)^{3}}{3}-\frac{\left(-2\right)^{2}}{2}+4\left(-2\right)\right)$$

Виконайте спрощення.

$$\frac{32}{3}$$